回文自动机PAM 学习笔记

这回不鸽了

思路

样子

abaaba

回文自动机 PAM 由两棵树组成。第一棵树根（偶根）的 (len) 为 0 ，代表着长为偶数的回文串；第二棵树根（奇根）的 (len) 为 -1，代表着长为奇数的回文串。注意：偶根代表的是空串，奇根无实际意义。

边代表的字母，表示它的回文串是“父亲节点对应的回文串”两边加上这个字母组成的串。例如，我代表的回文串是 'accbbcca'，我有一条 'b' 边指向点 5 ，那么点 5 的回文串就是 'baccbbccab'。

所以如果有一个节点父亲是偶根，那么就相当于空串两边放上字母；如果有一个节点父亲是奇根，那么就相当于只放一个字母（可以这样理解：奇根串长 -1，两边加 'a' 就变成了长度为 1 的字符串 'a'）。　

构造

注意：回文串的最长回文后缀不包括它自己，即 'ababa' 的最长回文后缀是 'aba' 而不是 'ababa'。

一个节点的信息是这样的：

struct dino{int len,fail,to[26];}dot[m7];

len 就是这个点代表的回文串长度是多少，to[x] 代表这个点通过字母为 x 的边指向的儿子是谁，fail 是某个点最长回文后缀对应的 PAM 节点。

首先我们想想，假如我是第 (i) 位的字符，我想知道我可以拼哪个回文串（以哪个回文串为末尾）。那么，我看一下第 ((i-1)) 位对应的回文串（假设是 (cur) ）长度是 (len)：

如果字符串第 ((i-len-1))　位和我一样，那我就知道我的字符串长度，以及我在 PAM 上的父亲等信息了！

但是不一样，怎么办呢？

这里有一个很巧妙的方法：走向 (cur) 的最长回文后缀。

再次判断是否合法，还不一样就再跳：

……

直到我们找到了合适的匹配，我将那个字符串对应的 PAM 节点作为我的父亲，(len_{me}=len_{fa}+2)。

跳后缀就相当于跳 (fail)，所以代码也很好理解：

int Glegal(int z,int wei){//我左边那个位置的回文串长度为z，我是第 wei 位字符
	while(cr[ wei-dot[z].len-1 ]^cr[wei])z=dot[z].fail;
    //a^b 就是 a!=b 常数更小
	return z;
}

如果一直找不到合法的，最后肯定会跳到奇根，奇根是一定合法的，所以不用担心。

所以初始化是这样的：

void plant(){
    //注：第一位是len，第二位是fail
	dot[0]=(dino){0,1};//偶根 
	dot[1]=(dino){-1,0};//奇根
    //奇根的fail随便指，因为跳到它之后不会再跳fail了（但也不要乱指，建议指向0）
    //初始化所有的fail都要指向偶根，因为偶根是有实际意义的空串
    //而因为所有的fail都指向了0，所以把偶根设为0方便
}

那么我的 (fail) 是甚么呢？

因为现在 (fa) 对应字符串两边加上字符后就是我自己了，所以 (fa) 肯定不是我的 (fail) （最长回文后缀不能是自己），所以我的 (fail) 是 (fail_{fa}) 吗？

不一定，因为还要保证是回文串， (fail_{fa}) 没有保证第 ((i-len-1)) 位字符和我一样。

于是我们还要不停跳，知道跳到合法为止。

所以代码就显然了：

void insert(int id){
	int pre=Glegal(las,id);
	if(!dot[pre].to[ cr[id] ]){
		int tmp=Glegal(dot[pre].fail,id);
		cnt++;
		dot[cnt].len=dot[pre].len+2;
		dot[cnt].fail=dot[tmp].to[ cr[id] ];
		dot[pre].to[ cr[id] ]=cnt;
	}
	las=dot[pre].to[ cr[id] ];
}

加了 (fail) 以后的 PAM （虚线就是 (fail) ）

abaaba

总代码

Luogu模板题

加了一个 (num) ，假设第 (i) 位字符在 PAM 上对于节点为 (P)，则 (num_P) 代表以 (i) 位置结尾的回文子串个数，转移也很显然 (num_P=num_{fa}+1)。

//SAM难死，还是PAM好贴贴 
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;++i)
using namespace std;
const int m7=501234;
struct dino{int len,fail,num,to[27];}dot[m7];
int n,cnt=1,las,cr[m7];char cz[m7];

void plant(){
	dot[0]=(dino){0,1};//偶根 
	dot[1]=(dino){-1,0};//奇根
}

int Glegal(int z,int wei){
	while(cr[ wei-dot[z].len-1 ]^cr[wei]){
		z=dot[z].fail; 
	}
	return z;
} 

void insert(int id){
	int pre=Glegal(las,id);
	if(!dot[pre].to[ cr[id] ]){
		int tmp=Glegal(dot[pre].fail,id);
		cnt++;
		dot[cnt].len=dot[pre].len+2;
		dot[cnt].fail=dot[tmp].to[ cr[id] ];
		dot[cnt].num=dot[ dot[cnt].fail ].num+1;
		dot[pre].to[ cr[id] ]=cnt;
	}
	las=dot[pre].to[ cr[id] ];
}

int main(){
	plant();
	scanf("%s",cz+1);
	n=strlen(cz+1);
	int ans=0;
	rep(i,1,n){
		cz[i]=(cz[i]-97+ans)%26+97;
		cr[i]=cz[i]-'a';
		insert(i);
		ans=dot[las].num;
		printf("%d ",ans);
	}
	return 0;
}