生成函数 学习笔记

生成函数是什么

就是把一个数列当作多项式的系数，比如 ({1,1,4,5,1,4}) 的普通生成函数是 (F(x)=1x^0+1x^1+4x^2+5x^3+x^4+4x^5)。

注意我们一般用 (F(x),G(x),H(x)) 来表示一个生成函数。

不可思议的是，它还可以支持无限数列，比如 ({1,1,1,1,1,1...}) 的生成函数就是 (F(x)=1+x+x^2+x^3+x^4...)，也可以写作 (Large F(x)=sumlimits_{i=0}x^i)

然而这东西看起来很烦，我们可以这样想：

[F(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5...\ xF(x)=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6... ]

第二个式子减去第一个式子，有：

[xF(x)-F(x)=-1\ F(x)=frac{1}{1-x} ]

很神奇，但很反直觉（如果 (x=2,3,4...) 之类的，这么多东西加起来是一个负数？），因为这玩意的收敛是 ((-1,1))，但是在 OI 中，一般我们不管这收敛，只需要推式子就好了。

普通生成函数

讲解

形如 (sumlimits_{i=0}a_ix^i) 的生成函数叫做普通生成函数（OGF），一般求组合数。

苹果蓝17在小学一年级的时候就推出了一些常用的普通生成函数封闭形式：

常用生成函数封闭形式

• ({1,1,1,1,1...})，为 (1+x+x^2+x^3...=Large frac{1}{1-x})。
• ({1,0,1,0,1...})，为 (1+x^2+x^4+x^6...=F(x^2)=Large frac{1}{1-x^2})
• ({1,k个0,1,k个0...})，为 (F(x^{k+1}))。
• ({1,1,1,1})（有限数列，共 (k) 个 (1)，后面都是 (0)），为 (Largefrac{1-x^k}{1-x})
• ({1,1,1,1}) （最高的 (1) 在 (k) 次项），为 (Largefrac{1-x^{k+1}}{1-x})（和上面的相同，只是造福我这种懒人= =）

上式证明

简要证明一下，可以略过。

对于第一个，一开始已经说过了。

对于第二个和第三个，把 (x^2) 带入 (x) 就好。

对于第四个：

比如 (k=4) 的情况，就是 (F(x)=1+x+x^2+x^3)。

则 (xF(x)=x+x^2+x^3+x^4)。

接下来：

[xF(x)-F(x)=x^4-1\ F(x)(x-1)=x^4-1\ F(x)=frac{x^4-1}{x-1}=frac{1-x^4}{1-x} ]

其它的讲解也待填

---

组合意义

• 如果系数全是 (1)，组合意义就是拿 (n) 个小球组合的方案数。（注意是组合，即先拿红球、后拿黄球，和先拿黄球、后拿红球是一样的方案）

• 如果系数是 (a_i)，组合意义就是每个小球有一个权值，拿一组小球的价值是所有小球权值乘积，求出所有方案数的价值之和。

指数生成函数

讲解

形如 (Largesumlimits_{i=0} a_ifrac{x^i}{i!}) 的生成函数叫做指数生成函数（EGF），一般求排列数，使用方式与 OGF 差不多。

苹果蓝17在小学二年级的时候就推出了一些常用的指数生成函数封闭形式：

• ({1,1,1,1,1...})，为 (Large 1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}...=e^x)
• ({1,0,1,0,1...})，为 (Large 1+frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}...=frac{e^x+e^{-x}}{2})
• ({0,1,0,1,0...})，为 (Large x+frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}...=frac{e^x-e^{-x}}{2})

非常神奇~

苹果蓝17在小学三年级还说过，其它数列可以通过求导得到，但是我不会。

所以比如某某题的题意是，你依次放置 (n) 个球，要求怎么样怎么样，求方案数。你推出了此题的 EGF 为：

[5+frac{e^{7x}-e^{-7x}}{6} ]

那么你就可以化回来，变成：

[上式=5+sum[i为奇数]frac{(7x)^i}{i! imes 3}=5+sum[i为奇数]frac{7^ix^i}{i! imes 3} ]

接下来求出其第 (n) 项系数，就是 (Large [n为奇数]frac{7^n}{3})，即当 (n) 为偶数的时候方案数是 (0)，是奇数时方案数是 (Large frac{7^n}{3})。

---

组合意义

你可能会想，这不是除了个 (i!) 吗，方案数应该更少。但显然一般来说，一个东西的排列数肯定比组合数多。但事实上你想一想，这就相当于普通的生成函数给系数 (a) 乘上了 (i!)，然后给 (x) 除掉了 (i!)，没有变化，但是系数变成了排列数，故。

---

例题

Chocolate （注意 UVA 上用生成函数会被卡精度，过不了）

首先剩余的球不可能比颜色 (c) 还多，更不可能比拿出的球 (n) 还多，所以事实上， (mle 100)。

题意化为，有 (m) 个球出现奇数次，((c-m)) 个出现偶数次，求方案数（概率就是总方案数除以合法方案数）。

很显然我们快速写写数列：

[{0,1,0,1,0...}\ {0,1,0,1,0...}\ {0,1,0,1,0...}\ ...共 m 个\ {1,0,1,0,1...}\ {1,0,1,0,1...}\ {1,0,1,0,1...}\ ... 共 (c-m) 个 ]

然后化成生成函数的封闭形式：

[frac{e^x-e^{-x}}{2}\ frac{e^x-e^{-x}}{2}\ ...共 m 个\ frac{e^x+e^{-x}}{2}\ frac{e^x+e^{-x}}{2}\ ...共 (c-m) 个 ]

把它们全部乘起来，再化为一般形式，然后看看第 (m) 项系数就行了。最后要乘上一个 (Large inom{c}{m})，因为不知道每个颜色的球取偶数个还是奇数个。

！还记得二项式定理吗？(Large (a+b)^n=sumlimits_{i=0}^n inom{n}{i}a^nb^{n-i})，待会需要用到它

开始爆化简：（抄袭参考了辰星凌大佬的题解，她将 (Large inom{c}{m}) 乘了进去）

[egin{aligned} F(x) &=C_{c}^{m}left(frac{e^{x}-e^{-x}}{2} ight)^{m}left(frac{e^{x}+e^{-x}}{2} ight)^{c-m} \ &=frac{C_{c}^{m}}{2^{c}}left(sum_{i=0}^{m}(-1)^{i} C_{m}^{i} e^{(m-2 i) x} ight)left(sum_{j=0}^{c-m} C_{c-m}^{j} e^{(c-m-2 j) x} ight) \ &=frac{C_{c}^{m}}{2^{c}} sum_{i=0}^{m} sum_{j=0}^{c-m}(-1)^{i} C_{m}^{i} C_{c-m}^{j} e^{(c-2 i-2 j) x} \ &=frac{C_{c}^{m}}{2^{c}} sum_{i=0}^{m} sum_{j=0}^{c-m}(-1)^{i} C_{m}^{i} C_{c-m}^{j} sum_{n geqslant 0} frac{x^{n}}{n !}(c-2 i-2 j)^{n} \ &=sum_{n geqslant 0}left(frac{C_{c}^{m}}{2^{c}} sum_{i=0}^{m} sum_{j=0}^{c-m}(-1)^{i} C_{m}^{i} C_{c-m}^{j}(c-2 i-2 j)^{n} ight) frac{x^{n}}{n !} end{aligned} ]

把那个系数拿来算就好了。

！ 计算组合数可以用如下方式预处理，复杂度 (O(n^2)) 。

rep(i,1,100)C[i][0]=C[i][i]=1;
rep(i,1,100)rep(j,1,i-1){
	C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
}