块状链表 学习笔记

感谢大佬 @w33z8kqrqk8zzzx33！

用块状链表实现平衡树，是怎么回事呢？快来跟小编看看吧~

前置知识

vector 的部分用法

vector 就是变长数组。由于 STL 制作者们八仙过海，所以它的一些操作常数极小（相比于普通数组）。

首先注意，vec 的第一个位置下标是 0；而且大多函数都是左闭右开的（就像 sort 一样，你要写 sort(a+1,a+n+1) 而不是 sort(a+1,a+n)，就是因为 sort(l,r) 的范围是 ([l,r)) 即 ([l,r-1])）。

• vec.begin() 它的第一个位置（如果你想知道 vec 第一个位置的数字是什么，你可以用 vec.front() 或 vec[0]）。

• vec.end() 它的最后一个位置还要后一位（所以实际的最后一位是 --vec.end()）（与 vec.front() 同理，最后一个位置的数字是 vec.back()）。

• vec[wei] 第 wei 个位置的数字。

• vec.size() 它有多少个元素。

• vec.emplace_back(x) 在它的最后放一个新数字 x（和 push_back 是一个东西），(O(1))。

• vec.emplace(wei,x) 在它的 wei 这个位置前面插入一个新位置，新位置的数字是 x（和 insert 是一个东西），极小常数的 (O(n))。

• vec.erase(wei) 删除 wei 这个位置，极小常数的 (O(n))。

• lower_bound(vec.begin(),vec.end(),x) 查询整个 vec 第一个大于等于 x 的数字的位置是什么。这个函数也是左闭右开的，但是因为 vec.end() 刚好指向最后一位的下一位，所以可以视作整个 vec，(O(log n))。

• upper_bound(vec.begin(),vec.end(),x) 查询整个 vec 第一个大于 x 的数字的位置是什么。和上面同理。

平衡树题意

维护一个多重集合，需支持下列操作：

1. 插入或删除一个数 (x)；
2. 查询 (x) 排名；
3. 查询排名为 (x) 的数字是什么；
4. 查询 (x) 的前驱/后继。

块状链表

我们想到一个暴力做法：维护一个 vec，使得里面的数字都是从小到大排好序的。

对于四个操作：

1. 二分 (x) 应该在的位置，暴力插入/删除。
2. 二分 (x) 应该在的位置。
3. cout<<vec[x]。
4. 二分 (x) 应该在的位置。

瓶颈显然在于操作 1 ，是小常数 (O(n))。

那么考虑分块。为了方便，设 (B=sqrt n)，分成了 B 个大小为 B 的块。

然后二分 (x) 的位置，就可以转为另一个方法：

依次遍历每个块，看一下块尾的元素是否小于 (x)。如果否，则 (x) 的位置就在这个块中，在块内二分即可。这是 (O(B)) 的哟~

暴力插入/删除的话，也变成了小常数 (O(B))（实测跑的飞快，就像发疯了的 (O(log n)) 一样！）。

但是如果我们不停地在同一个块进行插入，这个块变得很大，会退化成 (O(n))。

解决方案是，如果有一个块的块长大于 (B) 了，那么就把它们掰成两个 (frac{B}{2}) 的块。

这样保证时间复杂度了，但是还有一些细节：

1. 为了仍能保证块的大小顺序（即把所有块合成一起时，仍是从小到大排序的），我们需要用链表把所有的块串起来，这样掰开块的时候就是 (O(1)) 的了。
2. 因为链表不支持定点访问，操作 3 的方法要改变了。设立当前排名 (cnt)，我们一次遍历每一个块，就让 (cnt) 增加块的大小。如果 (cntge x) 了，代表就在当前块中，块内二分即可。
3. 一开始把数列加进去的时候，是 (frac{B}{2}) 个为一组，放进块中。

代码

题目 【模板】普通平衡树

链表可以直接用 vector 代替，也就是 vec 套 vec！！1

代码非常短，于是块状链表也被称作 “五分钟平衡树”。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;++i)
#define ltor(id) kzlb[id].begin(),kzlb[id].end() 
#define iter vector <int> ::iterator 
#define pb emplace_back
using namespace std;
const int n7=101234,inf=1e7+1;
int T,B;
vector < vector <int> > kzlb;

int rd(){
	int shu=0;bool fu=0;char ch=getchar();
	while( !isdigit(ch) ){if(ch=='-')fu=1;ch=getchar();}
	while( isdigit(ch) )shu=(shu<<1)+(shu<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return fu?-shu:shu;
}

void wt(int z){
	if(z<0)putchar('-'),z=-z;
	if(z>9)wt(z/10);
	putchar(z%10+'0');
}

int ffind(int x){
	rep(i,0,kzlb.size()-1){
		if(kzlb[i].back()>=x)return i;
	}
}

void isert(int x){
	int id=ffind(x);
	kzlb[id].emplace(lower_bound(ltor(id),x),x);
	if(kzlb[id].size()>B){
		kzlb.emplace(kzlb.begin()+id+1,kzlb[id].begin()+B/2, kzlb[id].end() );
		kzlb[id].erase(kzlb[id].begin()+B/2, kzlb[id].end() );
	}
}

void erase(int x){
	int id=ffind(x);
	kzlb[id].erase( lower_bound(ltor(id),x) );
	if( !kzlb[id].size() )kzlb.erase(kzlb.begin()+id);
}

int Qkth(int x){
	rep(i,0,kzlb.size()-1){
		if(kzlb[i].size()>=x)return kzlb[i][x-1];
		else x-=kzlb[i].size();
	}
}

int Qnum(int x){
	int cnt=0;
	rep(i,0,kzlb.size()-1){
		if(kzlb[i].back()>=x){
			cnt+=lower_bound(ltor(i),x)-kzlb[i].begin();
			return cnt+1;
		}
		else cnt+=kzlb[i].size();
	}
}

int Qpre(int x){
	int id=ffind(x);
	iter wei=lower_bound(ltor(id),x);
	if( wei==kzlb[id].begin() )return kzlb[id-1].back();
	else return *--wei;
}

int Qnxt(int x){
	int id=ffind(x+1);
	iter wei=upper_bound(ltor(id),x);
	//左闭右开，所以wei=end表示找不到 
	if( wei==kzlb[id].end() )return kzlb[id+1].front();
	else return *wei;
}

int main(){
	kzlb.pb();
	kzlb.back().pb(inf);
	T=rd(),B=sqrt(T);
	while(T--){
		int sys=rd(),x=rd();
		if(sys==1)isert(x);
		if(sys==2)erase(x);
		if(sys==3)wt( Qnum(x) ),putchar('
');
		if(sys==4)wt( Qkth(x) ),putchar('
');
		if(sys==5)wt( Qpre(x) ),putchar('
');
		if(sys==6)wt( Qnxt(x) ),putchar('
');
	} 
	return 0;
}