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题意

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有 (n) 个物品排成一列，第 (i) 个物品强度为 (a_i)。每一秒会随机选择两个相邻的物品相撞，强度较小的那个会破碎，被移除队列（即原本不相邻的物品可能会现在相邻）。求每个物品存活时间的期望。

$O(n^2) $ 解法

设 (P(i=x)) 为某物品存活时间等于 (i) 的概率，则显然 (E=sumlimits_{i=1}^{n-1}iP(i=x))。

展开来就是

[egin{align} E&=P(1=x)+2P(2=x)+3P(3=x)+...\ &=(P(1=x)+P(2=x)+P(3=x)+...)+(P(2=x)+P(3=x)+...)+(P(3=x)+...)+...\ &=P(1le x)+P(2le x)+P(3le x)+...\ &=sum_{i=1}^{n-1}P(ile x) end{align} ]

重申 (large E=sum_limits{i=1}^{n-1}P(ile x))。

于是设 (pre) 为在物品 (x) 左边第一个强度比它大的物品， (nxt) 为在物品 (x) 右边第一个强度比它大的物品。则如果 (presim x) 一段物品或 (xsim nxt)​ 一段物品全部被打碎，则这个物品就碎了。

设 (P(A)) 为 (presim x) 全部破碎的概率， (P(B)) 为 (xsim nxt) 全部破碎的概率。则 (P(Aand B)) 为 (presim nxt) 全部破碎的概率。

则 (P(ige x)=P(A)+P(B)-P(Aand B))。

设 (d_1=x-pre,d_2=nxt-x)​，有 (P(ile x)=1-P(A)-P(B)+P(Aand B)=1-frac{left(egin{array}{c} n-1-d_{1} \ i-d_{1} end{array} ight)}{left(egin{array}{c} n-1 \ i end{array} ight)}-frac{left(egin{array}{c} n-1-d_{2} \ i-d_{2} end{array} ight)}{left(egin{array}{c} n-1 \ i end{array} ight)}+frac{left(egin{array}{c} n-1-d_{1}-d_{2} \ i-d_{1}-d_{2} end{array} ight)}{left(egin{array}{c} n-1 \ i end{array} ight)})​