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  • 虚树

    虚树是什么

    对于一棵树,如果我们多次查询,第 (i) 次查询,给出树上的 (k_i) 个节点,查询它们公共的信息、互相的贡献等等。每次 dfs 整棵树,时间复杂度是 (O(nT)) 的。但是如果我们每次查询把无用的节点删除,只保留 (k_i) 个节点以及他们的 lca,那么最多会有约 (2k_i) 个节点,再进行 dfs,总共时间复杂度是 (O(nsumlimits_i k_i)) 的。

    如何建立虚树

    我们先把 (k)​ 个关键节点按照 dfs 序 排序,维护当前的最右链(带着炸毛环境的画外音响起:维护右链!)。我们用一个栈维护当前的右链是什么,一开始栈顶元素就是根节点。(节点上的数字代表它在栈中下标)

    image-20210830100220414

    如果我们加入一个新节点,新节点在原树上与栈顶元素的 LCA 如图:

    image-20210830104516632

    那么我们就不断将栈顶和栈第二连边(比如当前栈顶是 4,栈第二是 3,那就连边 4-3,然后弹栈)。弹栈表示这个点已经不是最右链,将它放入虚树中并弹出。

    不停地弹栈,直到栈中元素只有一个(此时再弹就空了),或者栈顶元素比 LCA 浅,我们就停止弹栈。如果 LCA 刚好不是栈顶元素,那么就连边 top-LCA ,然后将 LCA 加入栈顶。最后将当前的元素加入栈顶。

    到最后,如果栈中还有元素,那么就不断弹栈,将栈顶与栈第二连边。

    虚树就建好啦!

    虚树例题

    SvT

    建出后缀树后,就变成了求每个后缀对应的节点的两两 LCA 深度之和。

    用虚树就可以低时间复杂度树形 DP 了。

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