bzoj3529: [Sdoi2014]数表

%%%Po姐姐

https://wenku.baidu.com/view/fbec9c63ba1aa8114431d9ac.html

【题意】

　　见原题

【题解】

　　一个数对(x,y)的公约数必定是其最大公约数的约数。所以我们可以设F（d）为d的所有约数之和，之后只要用F(d)代替最大公约数为d的数对的公约数之和就行了。

　　先不考虑a的限制，原题就转化为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\sum_{i= 1}^{n}\sum_{j= 1}^{m}F\left ( Gcd(i,j) \right )$

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=$\sum_{d= 1}^{n} F(d)\cdot g(d)$       //g(d)代表gcd为d的对数。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=$\sum_{d= 1}^{n} F(d) \sum_{d|i}^{}\left \lfloor n/i \right \rfloor\left \lfloor m/i \right \rfloor \cdot μ(i/d)$

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=$\sum_{i= 1}^{min(n,m)}\left \lfloor n/i \right \rfloor\left \lfloor m/i \right \rfloor \sum_{d|i}^{} μ(i/d)*F(d)$

　　然后按照套路，对i求一下片段和。

　　当然还有a的限制。仔细想如果F(d)>a,实际上就把F(d)当成0就行了。可是每次询问都要重新求修改F(d)岂不是会T掉？

　　于是你可以离线操作，按a值将询问排个序，每次只要将小于等于a的F(d)在之前的询问基础上修改一下就行了。

　　对于F(n)和μ(n)线性筛求一遍。还有模数问题直接int自然溢出就行了，最后负数再处理一下就行了。

　　时间复杂度应该就是O（$T\sqrt{n}logn$+$n log^{2} n$）

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 100005
using namespace std;
struct Q
{
    int n,m,a,id;
}a[20005];
struct node
{
    int x,y;
}f[N];
int l,n,m,po,last,cnt,T,F[N],ans[20005],prime[N],tot[N],sum[N],tre[N],mu[N];
bool flag[N];
bool cmp(Q a,Q b)
{
    return a.a<b.a;
}
bool cmp2(node a,node b)
{
    return a.x<b.x;
}
void Pre()
{
    int x;F[1]=1;mu[1]=1;
    for (int i=2;i<N;++i)
    {
        if (!flag[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            F[i]=1;
            tot[i]=i;
            sum[i]=1+i;
            mu[i]=-1;        
        }
        for (int j=1;j<=cnt;++j)
        {
            x=i*prime[j];
            if (x>=N)    break;
            flag[x]=1;
            if (i%prime[j])
            {                
                F[x]=F[i]*sum[i];
                tot[x]=prime[j];
                sum[x]=1+prime[j];
                mu[x]=-mu[i];
            }
            else
            {                
                F[x]=F[i];
                tot[x]=tot[i]*prime[j];
                sum[x]=sum[i]+tot[x];                
                break;
            }
        }
        F[i]*=sum[i];
    }
    for (int i=1;i<N;++i)    f[i]={F[i],i};
}
void add(int x,int y)
{
    for (;x<N;x+=x&(-x))    tre[x]+=y;
}
int get(int x)
{
    int s=0;
    for (;x;x-=x&(-x))    s+=tre[x];
    return s;
}
void join(int x,int d)
{
    for (int i=d;i<N;i+=d)    add(i,x*mu[i/d]);
}
int main()
{
    Pre();
    scanf("%d",&T);
    for (int i=1;i<=T;++i)
    {        
        scanf("%d%d%d",&a[i].n,&a[i].m,&a[i].a);
        a[i].id=i;
    }
    sort(a+1,a+T+1,cmp);
    sort(f+1,f+N,cmp2);
    po=1;
    for (int i=1;i<=T;++i)
    {        
        while (po<N && f[po].x<=a[i].a)
        {
            join(f[po].x,f[po].y),++po;
        }
        last=0; n=a[i].n; m=a[i].m;
        l=min(n,m);        
        for (int j=1;j<=l;j=last+1)
        {
            last=min(min(n/(n/j),m/(m/j)),l);
            ans[a[i].id]+=(n/j)*(m/j)*(get(last)-get(j-1));
        }
    }
    for (int i=1;i<=T;++i)
          printf("%d\n",ans[i]<0?ans[i]+2147483648:ans[i]);
      return 0;
  }