堆和堆排序

堆的定义如下：n个元素的序列（K1,K2......Kn）当且仅当满足Ki<=K2i&&Ki<=K2i或Ki>=K2i&&Ki>=K2i(i=1,2,3,...n/2)时称之为堆

以一维数组作为堆的存储结构，堆可以看成一个完全二叉树。

最大堆：每个父节点的都大于孩子节点。
最小堆：每个父节点的都小于孩子节点。

1、建堆：一个无序序列int a [] = {0,1, 3, 2, 5, 4};//其中红色的数字表示数组下标

                         

//建大堆
Heap(const T*a, size_t size)
    {
        for (size_t i = 0; i < size; ++i)
        {
            _array.push_back(a[i]);
        }
        for (int i = (_array.size() - 2) / 2; i>0; --i)//第一个非叶子结点，及上图的结点3
        {
            AdjustDown(i);
        }
    }
    void AdjustDown(int root)
    {
        int child = root * 2+1;
        while (child < _array.size())
        {
            if (child + 1 < _array.size() && _array[child + 1] > _array[child])
            {
                ++child;
            }

            if (_array[child] > _array[root])
            {
                swap(_array[child], _array[root]);
                root = child;
                child = 2 * root + 1;
            }
            else
            {
                break;
            }
        }
    }

2、堆排序

堆排序在最好和最坏情况下时间复杂度都为O(N*lgN)，空间复杂度为O(1)，由上面建堆的过程可知堆排序只适用于与可以支持随机访问的序列，如数组如果是链表的排序就不可以使用堆排序。

思想：如果要排位升序，则要建大堆，则每次位于堆顶的元素就为最大值，与堆上的最后一个结点交换即数组的最后一个元素，交换后再对除最后一个元素以外的数进行调整，再将此次范围中的堆顶元素与此次范围中的最后一元素进行交换,以此进行下去直至有序。

void AdjustDown(int * a, size_t size, int root)//建大堆
{
    assert(a);
    int child = 2 * root + 1;
    while (child < size)
    {
        if (child + 1 < size)
        {
            if (a[child] < a[child + 1])
            ++child;
        }
        
        if (a[root] < a[child])
        {
            swap(a[child],a[root] );
            root = child;
            child = 2 * root + 1;
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
}
void HeapSort(int * a, size_t size)
{
    assert(a);
    assert(size>0);
    if(size<2)
    {
      if(a[0]>a[1])
      {swap(a[0],a[1]);}
     }
    for (int i = (size - 2) / 2; i >= 0; --i)
    {
        AdjustDown(a, size, i);
    }
    for (int i = size - 1; i > 0; --i)
    {
        swap(a[0], a[i]);
        AdjustDown(a, i, 0);
    }
    

}