注：本文章中大多数定理未证明，读者可以在百度百科中查看费马小定理和欧拉定理的证明，写的都非常详细。
数论中有一个东西非常常见，也非常烦。
这个东西叫“质数”
（及其相关知识）
那么这一篇来聊聊与质数有关的话题吧：
质数，筛质数的方法，phi函数，线性筛。
恩先说质数，
质数就是只有1和它本身两个因数的自然数。
与质数相对的就是合数
好了质数讲完了。
筛质数的方法？
判断一个数是否是质数大家都会吧，根号的做法
如果要筛出1到n之间所有的质数呢？
普通的筛法求质数，我们来归纳一下，可以通过筛去合数的方法来筛质数。
如下代码：
for(int i=2;i<=n;++i)
for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
check[j]=1;
我们来分析一下该算法的复杂度：
n/2+n/3+......+n/n = n*(1/2+1/3+......+1/n)
右边那个括号里面的，是调和级数
有某个结论：1+1/2+......+1/n = ln(n+1)+r
那么我们把时间复杂度近似地看做为nlogn
这种做法在n=10000000的时候显然效率不高。
有什么快速的筛法呢？
请继续阅读，之后会讲解一种方法：“线性筛”。
phi函数。
原来是这么写的：“φ”
φ(n)（欧拉函数）表示，小于n的正整数中，与n互质的数的个数，
特别的，φ(1)=1。
由于这个符号比较难打，之后会用phi代替。
这个东西非常有用。
大家也许还记得这个东西：
p为质数时，a^(p-1)%p = 1 （费马小定理）
先告诉你一个非常响亮的结论：
对于互质的正整数a和n，有a^phi(n) % n = 1（欧拉定理）（证明请查看百度百科）
由于质数p，phi(p)=p-1，
因此费马小定理是欧拉定理的一个特例。
我们来看一下phi函数的一些特性：
①，p为质数时，phi(p)=p-1
②，p为质数，n为正整数时，phi(p^n)=p^(p-1)*(p-1)
③，a,b互质时，phi(a*b)=phi(a)*phi(b) （即积性函数）（可以用中国剩余定理证明，这里证明略）
那么根据以上性质，也许大家能轻易得到phi函数的一个通式：
p1,p2,......,pn是x的不同的质因子。
恩接下来的东西非常重要，
其实线性筛是个不难的算法，却是个非常优秀的算法；
好了终于要讲线性筛了
我们先来讲线性筛质数
普通筛法求质数是通过筛合数的方法来得到质数，
那能不能把时间复杂度优化到O(n)呢？
这就是线性筛的美妙之处。
假如一个合数90
普通的筛法会使90被其所有的因数筛去，较慢，
我们能否做到，该合数只会被它最小的质因数2筛去，而不是被其他数筛去呢？
如果能做到，那么每个合数被筛去的复杂度是O(1)的，总时间复杂度也就是O(n)的了
我们来看一下代码：
const int N=10000000;
int pn,prime[N+1]; //pn表示质数的个数，prime数组存放质数
bool check[N+1]; //check[i]表示i是否为合数
void getprime()
{
for(int i=2;i<=N;++i)
{
if(!check[i])
{
++pn; p[pn]=i; //如果i不是合数，加入质数数组
}
for(int j=1;j<=pn;++j)
{
if(i*p[j]>N)break; //筛去1到N之间的合数
check[i*p[j]]=1; //将合数i*p[j]标记
if(i%p[j]==0)break; //使得合数只会被其最小的质因数筛去。
}
}
}
那么，如何线性筛phi呢？
我们现在需要做的是，用O(n)的时间复杂度，求出phi(1),phi(2),......,phi(n)
首先，来回顾一下phi的性质：
1、积性函数性质
2、x>=1时，phi(p^x)=p^(x-1)*(p-1)
那么，我们能否在线性筛素数的基础上，顺便求phi呢？
对于s是质数次方的情况，可以通过性质2轻松解决，
对于s是合数的情况：
很简单，如果s = p1^s1 * p2^s2 * ...... * pm^sm，p1<p2<...<pm，
那么，根据积性函数性质，我们可以通过phi(s / (p1^s1) ) 求得phi(s)
易得phi(s) = phi( s / (p1^s1) ) * phi(p1 ^ s1)
那么一种做法是，开一个数组f，f[s]=s/(p1^s1) （即把最小质因子全部去除之后的数）
这样，如果s1==1，f[s]=s/p1；否则f[s] = f[s/p1]。（相当于s只会被p1筛去，通过线性筛可以实现）
于是phi(s) = phi(f[s]) * phi(s/f[s])
只要通过线性筛求f数组就可以了。
代码略……