组合数学

排列组合

排列

从(n)个不同的元素中取出(m)个的方案数，记为(A(n,m))或(P(n,m))

[A(n,m)=frac{n!}{(n-m)!} ]

组合

从(n)个相同的元素中取出(m)个的方案数，记为(C(n,m))或(inom{n}{m})

[C(n,m)=frac{n!}{m!(n-m)!} \ C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1) \ sum_{i=0}^m C(n,i)=C(n+1,m+1) ]

隔板法

用(m-1)个相同隔板把(n)个相同元素分成(m)部分（可以有两个隔板插在同一个空隙）
方案数：$$C(n+m-1,m-1)=C(n+m-1,n)$$

容斥原理

[|igcup_{i=1}^n S_i|=sum_{m=1}^n (-1)^{m-1}sum_{a_i<a_{i+1}} |igcap_{i=1^m} S_{a_i}| ]

不定方程非负整数解计数

给出不定方程(sum_{i=1}^n x_i=m)和(n)个限制条件(x_ile b_i) ，其中(m,b_iin mathbb{N})。求方程的非负整数解的个数。

解

考虑求有限制(x_igeq b_i+1)的不定方程非负整数解个数。
将每个有限制的(x_i)减去(b_i+1)，就去掉了限制。
这样，答案(=inom{m-1}{m+n-1})。
将原问题用容斥转化成上述问题计算即可。

数论中的容斥

欧拉函数，莫比乌斯反演

容斥原理一般化

[f(S)=sum_{Tsubseteq S}g(T) \ g(S)=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|S|-|T|} f(T) ]

二项式反演

[f(n)=sum_{i=0}^n inom{n}{i} g(i) \ g(n)=sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} inom{n}{i} f(i) ]

证明

假设有(n)个集合(A_i)，任意(k)个集合的交集都是(g_k)，任意(k)个集合补集的交集都是(f_k)。由容斥原理，

[f_n=g_0-inom{n}{1}g_1+inom{n}{2}g_2+dots+(-1)^ninom{n}{n}g_n \ g_n=f_0-inom{n}{1}f_1+inom{n}{2}f_2+dots+(-1)^ninom{n}{n}f_n ]

应用

在实际应用中，我们往往设(f(i))表示“恰好有(i)个”，(g(i))表示“钦定选(i)个，其余随意”。

min-max容斥

[max(S)=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}min(T) \ min(S)=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}max(T) ]

证明

假设(x)是第(k)大元素，定义映射(f:x ightarrow {1,2,dots,k})。
易得(x,k,f(x))一一对应。
则(f(min(x,y))=f(x)cap f(y),f(max(x,y))=f(x)cup f(y))
然后

[|f(max(S))|=|igcup_{xin S}f(x)|=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}|igcap_{xin T} f(x)|=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}|f(min(T))| ]

即

[|max(S)|=|igcup_{xin S}x|=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}|igcap_{xin T} x|=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}|min(T)| ]

上述式子在期望意义下也是成立的。

kth min-max容斥

[max_k(S)=sum_{tsubseteq S} (-1)^{|T|-k} inom{|T|-1}{k-1} min(T) ]

证明
设(max_k(S)=sum_{tsubseteq S} f(|T|) min(T))
考虑构造容斥系数(f(x))
考虑第(x+1)大的元素被统计到的贡献，为(sum_{i=0}^x inom{x}{i} f(i+1))
则

[[x+1=k]=sum_{i=0}^x inom{x}{i} f(i+1) ]

二项式反演，得

[f(x+1)=sum_{i=0}^x (-1)^{x-i} inom{x}{i} [x=k-1] \ f(x)=(-1)^{x-k}inom{x-1}{k-1} ]

卡特兰数

一个序列有n个0和n个1，保证每个1之前必有1个0的方案数为C(n)
递推式：（注意：括号里只有一个元素的是Catalan数，有两个元素的是组合数）

[C(n)=C(0)*C(n-1)+C(1)*C(n-2)+...+C(n-1)*C(0) \ C(n)=C(n-1)*(4*n-2)/(n+1) \ C(n)=C(2n,n)/(n+1) \ C(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1) ]

前几项是 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796 ，混着眼熟

斯特林数

第一类斯特林数

把(n)个元素摆成(m)个圆排列的方案数，记为$$s(n,m)$$
递推式：

[s(n,m)=s(n-1,m-1)+(n-1)*s(n-1,m) ]

常见应用

[n!=sum_{i=0}^n stra{n}{i} \ x^{underline n}=sum_{i=0}^n stra{n}{i} (-1)^{n-i} x^i ]

第二类斯特林数

把(n)不同的球放在(m)个相同的盒子（无空盒）里的方案数，记为$$S(n,m)$$
递推式：

[S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m) \ S(n,m)=frac{1}{m!}sum_{k=0}^{m}(-1)^kinom m k (m-k)^n=sum_{k=0}^m (-1)^kfrac{(m-k)^n}{k!(m-k)!} ]

常见应用

[x^n=sum_{i=0}^n strb{n}{i} x^{underline i} \ m!strb{n}{m} = sum_{k=0}^m inom{m}{k} k^n (-1)^{m-k} ]

斯特林反演

[egin {eqnarray*} sum_{k=1}^n stra nk strb km (-1)^{n-k} &=& [m=n] \ sum_{k=1}^n strb nk stra km (-1)^{n-k} &=& [m=n] \ Downarrow \ f(n) = sum_{i=0}^n strb ni g(i) &Longrightarrow& g(n) = sum_{i=0}^n (-1) ^{n-i }stra ni f(i)\ f(n) = sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} strb ni g(i) &Longrightarrow & g(n) = sum_{i=0}^n stra ni f(i) \ f(n) = sum_{i=0}^n stra ni g(i) &Longrightarrow & g(n) = sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}strb ni f(i)\ f(n) = sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}stra ni g(i) &Longrightarrow & g(n) = sum_{i=0}^n strb ni f(i) end{eqnarray*} ]

错位排列

递推式：$$f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2])$$

当 (n) 很大时， (f[n] approx frac{n!}{e})

证明：

1. (n-1) 个人已经完成错排，第 (n) 个人和任意一个人交换
2. (n-1) 个人中的一个和第 (n) 个人交换，其余 (n-2) 个人已经完成错排

经典的放球问题

为方便表达，我们设方案数为(N)，(n)个球，(m)个盒

1. 球不同，盒不同，有空盒

[N=m^n ]

根据乘法原理可得。

2. 球不同，盒不同，无空盒

(1) (n>=m)

[N=m!*S(n,m) ]

球不同，盒相同的方案数( imes m!)

(2) (n<m)

[N=0 ]

3. 球不同，盒同，有空盒

[N=S(n,1)+S(n,2)+...+S(n,m) ]

因为允许空盒，所以球可以只放在(m)个盒中的(1)个或(2)个或...或(m-1)个盒中

4. 球不同，盒同，无空盒

(1) (n>=m)

[N=S(n,m) ]

由第二类斯特林数的定义。

(2) (n<m)

[N=0 ]

5. 球同，盒不同，有空盒

[N=C(m+n-1,n) ]

插板法，即把(n)个球用(m-1)个隔板分成(m)部分。

6. 球同，盒不同，无空盒

(1) (n>=m)

[N=C(n-1,m-1) ]

先在每个盒子里放一个球，方案数为(1)；再对剩下的(n-m)个球用隔板法，即把(n-m)个球用(m-1)个隔板分成(m)部分。

(2) (n<m)

[N=0 ]

7. 球同，盒同，有空盒

(1) (n>=m)

我们发现，当(n=5,m=3)时的方案为：

5 0 0

4 1 0

3 2 0

3 1 1

2 2 1

共(5)种方案。

我们发现，问题可以转化为：把正整数(n)分解成不超过(m)个自然数的方案数。如果暴力dfs，时间复杂度为(O()爆炸())。竟然还有70分

有一个重要结论：把正整数(n)分解成不超过(m)个自然数的方案数，等于把正整数(n)分解成若干个(le m)的自然数的方案数。这个定理的证明方法，请自行百度。（我也不会）

我们考虑使用母函数：对于分解出的每个(le m)的整数(i)，我们用多项式表示为$$(x^i+x{2i}+...+x^{floor(frac{n}{i})*i})$$

此处(floor(x))表示(x)向下取整。

于是，母函数(G(x))：$$G(x)=prod_{i=1}^{m}(xi+x^{2i}+...+x{floor(frac{n}{i})*i})$$

求出(x^n)的系数即可。

(2) (n<m)

$$color{white}{???}$$

8. 球同，盒同，无空盒

(1) (n>=m)

母函数$$G(x)=prod_{i=1}^{m}(xi+x^{2i}+...+x{floor(frac{n}{i})*i})$$

中(x^{n-m})的系数。

(2) (n<m)

[N=0 ]

生成函数

引子

砝码称重问题

有1g砝码5个，2g砝码3个，5g砝码2个。相同质量的砝码完全相同。问有多少种能称出15g的方案？

解

很容易想到暴力枚举每一种可能的称量方案，但是时间复杂度为(O(n^n))级别，计算机无法承受。于是我们引入母函数的概念。设(G(x))为母函数，对于1g的砝码能称出的不同重量，我们用多项式表示为$$(x^1+x2+...+x^{{15})$$同理，2g砝码能表示为$$(x}2+x^4+...+x{14})$$5g砝码能表示为$$(x^5+x{10}+x^{15})$$
于是$$G(x)=(x^1+x2+...+x^{15})(x2+x^4+...+x{14})(x^5+x{10}+x^{15})$$
经过化简，求出(x^{15})的系数，即为答案。

由于只需化简多项式，母函数的时间复杂度仅为(O(n^3))，空间复杂度为(O(n))，得到巨大提升。
使用fft可以进一步优化。

OGF

序列(a)的普通生成函数：(F(x)=sum_{n} a_nx^n)

基本运算律

设(F(x))是(a)的OGF，(G(x))是(b)的OGF，则：

• (F(x)pm G(x))是(apm b)的OGF
• (F(x)G(x))是(sum_{i=0}^n a_ib_{n-i})的OGF

常见封闭形式

[{1,1,1,dots} ightarrow F(x)=frac{1}{1-x} \ {1,p,p^2,dots} ightarrow F(x)=frac{1}{1-px} \ {1,2,3,dots} ightarrow F(x)=frac{1}{(1-x)^2} \ {inom{n}{i}} ightarrow F(x)=(1+x)^n \ {inom{n+i}{i}} ightarrow F(x)=frac{1}{(1-x)^{n+1}} \ ext{fib}[i] ightarrow F(x)=frac{x}{1-x-x^2} ext{卡特兰数};H_n=sum_{i=0}^{n-1} H_iH_{n-i-1} ightarrow H(x)=frac{2}{1+sqrt{1-4x}} ]

封闭形式的展开

斐波那契数列

设

[F(x)=frac{x}{1-x-x^2}=frac{A}{1-ax}+frac{B}{1-bx} ]

通分，解得

[egin{cases} A=frac{1}{sqrt 5} \ B=-frac{1}{sqrt 5} \ a=frac{1+sqrt 5}{2} \ b=frac{1-sqrt 5}{2} end{cases} ]

即

[F(x)=sum_{n} frac{1}{sqrt 5}((frac{1+sqrt 5}{2})^n-(frac{1-sqrt 5}{2})^n)x^n ]

广义二项式定理

[inom{n}{k}=frac{n^{underline k}}{k!}(rin mathbb{C},kin mathbb{N}) ]

卡特兰数

(H(x)=frac{1-sqrt{1-4x}}{2x})
对(sqrt{1-4x})用广义二项式定理展开，代回原式，得

[H(x)=sum_{ngeq 0}inom{2n}{n}frac{1}{n+1}x^n ]

EGF

序列(a)的指数生成函数：(F(x)=sum_{n} a_nfrac{x^n}{n!})

基本运算律

设(F(x))是(a)的EGF，(G(x))是(b)的EGF，则：

• (F(x)pm G(x))是(apm b)的EGF
• (F(x)G(x))是(sum_{i=0}^n inom{n}{i}a_ib_{n-i})的EGF

泰勒展开

我们用下式表示(f(x))在(x_0)处的泰勒展开式

[f(x)=sum_{i=0}^n frac{f^{(i)}(x_0)}{n!}+R_n(x) ]

其中(R_n(x))是((x-x_0)^n)的高阶无穷小。

直观理解

常见封闭形式

[{1,1,1,dots} ightarrow F(x)=e^x {1,p,p^2,dots} ightarrow F(x)=e^{px} ]

排列与圆排列

长为(n)的排列的EGF：(P(x)=sum_{ngeq 0}frac{n!x^n}{n!}=frac{1}{1-x})
长为(n)的圆排列的EGF：(Q(x)=sum_{ngeq 0}frac{(n-1)!x^n}{n!}=ln(frac{1}{1-x}))