HDU3709 Balanced Number

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3709

题目大意：

　　定义一个数字上的某一个数位作为中枢，其他数位上的数乘上该数位到中枢的距离称为该数位上的权值。

　　问在 ([x,y]) 中满足下述条件的数有多少个：

　　即能够在数字上任取一个数位作为中枢，使得中枢左右所有数位的权值和相等。

知识点：　　数位DP

解题思路：

　　首先，对于每一个数（先不考虑 (0) ），如果它能找到满足条件的中枢，那么这种中枢只有一个。粗略证明：假设一个数有两个满足条件的不同位置的中枢，设为 (p_1), (p_2)，(p_1<p_2)，则 (p_1) 对应的左边的权值和必定小于或等于 (p_2) 对应的左边权值和，(p_1) 对应的右边的权值和必定大于或等于 (p_2) 对应的右边权值和，这两者都相等当且仅当这个数为 (0)，但我们暂时不考虑 (0)，故假设不成立，原命题得证。

　　基于以上的结论，我们可以枚举中枢的位置，各自走一次 (DFS) 即可得出答案。

　　另，无论中枢的位置在哪里，(0) 显然都会被计为满足条件，故要注意去重。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
ll dp[20][20][10000];   //dp[第几位是中点][位置][sum值]
int a[20];
ll dfs(int pos,int zhong,int sum,bool limit){
    if(pos==-1)
        return sum==0?1:0;
    if(sum<0)   return 0;
    if(!limit&&dp[zhong][pos][sum]!=-1) return dp[zhong][pos][sum];
    int up=limit?a[pos]:9;
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<=up;i++){
        int tsum=(pos-zhong)*i+sum;
        ans+=dfs(pos-1,zhong,tsum,limit&&i==a[pos]);
    }
    if(!limit)  dp[zhong][pos][sum]=ans;
    return ans;
}
ll solve(ll x){
    if(x<0) return 0;
    int pos=0;
    while(x){
        a[pos++]=x%10;
        x/=10;
    }
    ll ret=0;
    for(int i=0;i<pos;i++){
        ret+=dfs(pos-1,i,0,true);
        ret--;
    }
    return ret+1;
}
int main(){
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    int T;
    ll x,y;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        printf("%lld
",solve(y)-solve(x-1));
    }
    return 0;
}