TCO14286 TriangleTriples

题目链接：https://vjudge.net/problem/TopCoder-14286

知识点：　　组合数学、容斥原理

题目大意：

　　给出 (A,B,C)，问有多少个有序三元组 ((a,b,c))，满足 (a le A,b le B,c le C)，并且长度为 (a,b,c) 的三条边能构成三角形。输出答案数模 (1000000007) 后的值。

　　(A,B,C le 10^9).

 

解题思路：

　　答案等于 (A imes B imes C) 减去不能构成三角形的方案数。有三种不能构成三角形的对称的情况：

　　(a+b le c, a+c le b, b+c le a).

　　现在先求解 (a+b le c) 的情况，其他两种情况做类似处理即可。已知 (c le C)。可以将 (a +b le c) 表达成 (a+b+x=c, 0 le x)，将 (c le C) 表达成 (c+y=C, 0 le y)。则我们可以列出下式：

　　(a+b+x+y=C, 1 le a,b, 0 le x,y)

　　上式的解的个数即为满足 (a+b le c) 的方案数，等价于将 (C) 分成 (4) 份（允许其中有两份为 (0)）的方案数再利用容斥原理减去 (a>A, b>B) 的部分，具体的式子是

　　(C_{C+1}^{3}-C_{C-A+1}^{3}-C_{C-B+1}^{3}+C_{C-A-B+1}^{3}).

 

AC代码：

#include <cstdio>

using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod=1e9+7;

class TriangleTriples{
public:
    LL c3(LL a){
        if(a<3) return 0;
        return a*(a-1)%mod*(a-2)%mod*166666668%mod;
    }
    LL solve(LL a,LL b,LL c){
        return (c3(a+1)-c3(a-b+1)-c3(a-c+1)+c3(a-b-c+1)+mod)%mod;
    }
    
    int count(int A, int B, int C){
        LL a=A,b=B,c=C;
        LL ans=a*b%mod*c%mod;
        ans=(ans-solve(a,b,c)-solve(b,a,c)-solve(c,a,b))%mod;
        ans+=mod;
        ans%=mod;
        return (int)ans;
    }
};