BZOJ2216 [POI2011] Lightning Conductor

https://www.luogu.com.cn/problem/P3515

即计算最大的aj-ai+sqrt(|i-j|)。先考虑i>j的情况，此时可以验证有决策单调性：当决策点x,y和待计算点i,j满足x<y<i<j时，证明：若ax-ai+sqrt(|i-x|)<ay-ai+sqrt(|i-y|)，则必有ax-aj+sqrt(|j-x|)<ay-aj+sqrt(|j-y|)。证明方法把前式的i移到一边然后分子有理化发现单调性即可。i<j时把a反过来同理。

决策单调性的一般方法是：队列维护决策点及其控制区间（这个控制区间是i~n的，是在仅考虑1~i-1的决策点时的情况，而不一定是最终的），然后用队头（此时它控制i）更新dp(i)，并加入决策点i。加入时，从队尾弹出“用i更新某区间左端点，比用原控制该区间的点来更新该区间左端点更好”的区间（即把他们归为i的控制区间），然后在弹完后的队尾的那个区间找到“恰好归i控制的下标最小的点”，从而把该区间劈成两半。劈完后的后一半与原来弹出的那些区间之并即成为i的控制区间。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long

int n;
#define maxn 500011
int head,tail,a[maxn];
struct quenode{int p,l,r;}que[maxn];
double f[maxn],g[maxn];
double cal(int j,int i) {return a[j]+sqrt(i-j)-a[i];}
void dp(double *f)
{
    head=tail=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (head<tail) f[i]=cal(que[head].p,i);
        que[head].l++;
        if (head<tail && que[head].l>que[head].r) head++;
        while (head<tail && cal(que[tail-1].p,que[tail-1].l)<cal(i,que[tail-1].l)) tail--;
        if (head==tail) que[tail++]=(quenode){i,i+1,n};
        else
        {
            int L=que[tail-1].l,R=que[tail-1].r+1;
            while (L<R)
            {
                int mid=(L+R)>>1;
                if (cal(que[tail-1].p,mid)>cal(i,mid)) L=mid+1;
                else R=mid;
            }
            if (L<=n)
            {
                que[tail-1].r=L-1;
                que[tail++]=(quenode){i,L,n};
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    dp(f);
    for (int i=1;i+i<=n;i++) {int t=a[i]; a[i]=a[n-i+1]; a[n-i+1]=t;}
    dp(g);
    for (int i=1;i<=n;i++) printf("%.0lf
",max(0.,ceil(max(f[i],g[n-i+1]))));
    return 0;
}