一、斐波那契数列
$f(0)=1,f(1)=1,f(i)=f(i-1)+f(i-2) (i>=2)$
经典的解释是兔子生小孩，第0年一对兔子，一对兔子需要一年长大，后面每年都生小孩，每次刚好生一对，问第i年有多少只。就这么算。
经典的应用是矩阵乘法！稍微写一下：
egin{vmatrix}
1 & 1 \
1 & 0
end{vmatrix} * egin{vmatrix}
f(i) \
f(i-1)
end{vmatrix} = egin{vmatrix}
f(i+1)\
f(i)
end{vmatrix}
二、卡特兰数
$C(0)=C(1)=1,C(n)=sum_{k=0}^{n-1} C(k)C(n-k-1)$
$C(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1)$
$C(n)=C(n-1)*(4*n-2)/(n+1)$
例子多了。出入栈序列，划分三角形，走格子不越过对角线，等等。
两种理解方式：分治，分成两个部分变成式一；计数，在瞎构造的序列中挑掉不合法的，对应方案是把第一个遇到不合法的位置以前全部取反，后面不变，建立一个和C(2n,n-1)的对应关系。
三、贝尔数
$B(n)=sum_{k=0}^{n-1} C(n-1,k)B(k)$
贝尔数是第二类斯特林数的一行的和，直接用上面方法可nlogn求一个贝尔数。
如果要求一系列贝尔数，考虑最后一个元素所在集合大小，有$f(i)=sum_{k=1}^{i} C_{i-1}^{k-1}f(i-k)$，一卷积，前面对后面有贡献，可CDQ+FFT在$nlog^2n$时间求解。
贴图都是不懂的。
三点五、范德蒙恒等式
$C_{n+m}^k=sum_{i=0}^{k}C_n^iC_m^{k-i}$
证明用生成函数。
四、斯特林数
第二类：s(n,m)--n个元素分到m个相同盒子，$s(n,m)=s(n-1,m-1)+s(n-1,m)*m$
还可以这么玩：不考虑是否空盒子，那答案就$frac{m^n}{m!}$，然后容斥一下，枚举几个空盒子，$s(n,m)=frac{1}{m!}*sum_{i=0}^{m}(-1)^iC_m^i(m-i)^n$，后面一卷积，可用多项式乘法得一行斯特林数。
他喜欢和指数玩：$i^j=sum_{k=1}^{j}S(j,k)k!C_i^k$
第一类：s(n,m)--n个元素排成m个圈圈，$s(n,m)=s(n-1,m-1)+s(n-1,m)*(n-1)$，排在每个数的左边。
五、默慈金数
$M(n)$--一个圆上n个点，问点间连线不相交的方案。或者在坐标轴上，一步之内可以往左往右或不动，问最后到原点的方案。
一、$M(n+1)=M(n)+sum_{i=0}^{n-1}M(i)M(n-1-i)=frac{(2n+3)M(n)+3nM(n-1)}{n+3}$
二、$M(n)=sum_{i=0}^{left lfloor frac{n}{2} ight floor}C_n^{2i}Cat(i)$
（不是很懂这字咋变小了）