Codeforces870F. Paths

n<=10000000的图，满足：如果(i,j)>1就连一条边权1的无相变，问所有d(u,v) (u<=v)--u到v的最短路之和。

首先1和>n/2的质数都是孤立的点。然后两个数x,y如果(x,y)>1最短路就1，如果(x,y)=1且x,y都不是1或>n/2的质数一定能走，具体这么走：$P_x$--x的最小质因子，那就$x->p_x*p_y->y$，那这样都走不了，还有：$x->p_x*2->p_y*2->y$这种一定走得了，因为x或y如果是合数那$p_x$最大是根号的，再*2根本爆不了；如果是质数那由于<=n/2，所以自己*2一定不会爆，因此就统计1的路径数，2的路径数和3的路径数即可。

1的路径数：$sum_{1<=x<=n,1<=y<=n}(x,y)>1=sum_{x=1}^{n}x-1-varphi (x)$。

3的路径数用总的减掉1和2的。

2的路径数，也就是满足$(x,y)=1$且$p_x*p_y<=n$且$x>1,y>1$且x,y都不是大于n/2的质数的：

（1）x,y都是合数：那直接枚举合数，然后$sum_{y是合数}^{n} varphi (y)- (<=y的质数) + (x的质因子数)-1$，注意到这一条说的质数、质因子都是包括>n/2的。

（2）x质y合：那也枚举合数，$sum_{y是合数}^{n} s_y-(y的质因子数)$，其中$s_y$表示比$x*p_y<=n$的质数x的数量，注意到这一条说的质数、质因子都是不包括>n/2的。

（3）x质y质，那枚举质数，$sum_{y是质数}^{n} x*y<=n$，即$x<=n/y$，注意到这里枚举的质数是<=n/2的，而且这里统计的x也是<=n/2的。

OK！

#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
//#include<assert.h>
#include<algorithm>
//#include<iostream>
using namespace std;

int n;
#define maxn 10000011
int prime[maxn/10],lp=0,phi[maxn],small[maxn],sum[2][maxn],sonofbitch[2][maxn]; bool notprime[maxn];
void pre(int n)
{
    phi[1]=1; sum[0][1]=sum[1][1]=0;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        sum[0][i]=sum[0][i-1]+(!notprime[i] && i*2<=n);
        sum[1][i]=sum[1][i-1]+(!notprime[i]);
        if (!notprime[i]) {prime[++lp]=i; phi[i]=i-1; sonofbitch[0][i]=(i*2<=n);
        sonofbitch[1][i]=1; small[i]=i;}
        for (int j=1;j<=lp && 1ll*i*prime[j]<=n;j++)
        {
            notprime[i*prime[j]]=1; small[i*prime[j]]=prime[j];
            if (i%prime[j])
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
                sonofbitch[0][i*prime[j]]=sonofbitch[0][i]+(prime[j]*2<=n);
                sonofbitch[1][i*prime[j]]=sonofbitch[1][i]+1;
            }
            else
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                sonofbitch[0][i*prime[j]]=sonofbitch[0][i];
                sonofbitch[1][i*prime[j]]=sonofbitch[1][i];
                break;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n); pre(n);
    #define LL long long
    LL tot1=0,tot2=0,tot3=0,m=n-(sum[1][n]-sum[0][n])-1,tot=m*1ll*(m-1)/2;
    
    for (int i=2;i<=n;i++) tot1+=i-1-phi[i];
    
    for (int i=2;i<=n;i++)
        if (notprime[i])
            tot2+=phi[i]-sum[1][i]+sonofbitch[1][i]-1+sum[0][n/small[i]]-sonofbitch[0][i];
        else if (i*2<=n) tot2+=sum[0][min(i-1,n/i)];
    
    tot3=tot-tot1-tot2;
    
    printf("%lld
",tot1+tot2*2+tot3*3);
    return 0;
}