hdu5608：function

$n^2-3n+2=sum_{d|i}f(i)$，问$f(i)$前$n$项和。

方法一：直接切入！

$S(n)=sum_{i=1}^{n}f(i)=sum_{i=1}^{n}(i^2-3i+2-sum_{d|i,d<i}f(d))=sum_{i=1}^{n}(i^2-3i+2)-sum_{i=1}^{n}sum_{d|i,d<i}f(d)=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-frac{3n(n+1)}{2}+2n-sum_{k=2}^{n}sum_{d=1}^{left lfloor frac{n}{k} ight floor}f(d)$

且不管他是不是什么积性函数了，符合杜教筛形式直接算！！

方法二：仔细乱搞

这一看就是反演形式，那就令$g(n)=n^2-3n+2$，反演得

$f(n)=sum_{d|n}mu (d)g(frac{n}{d})=sum_{d|n}mu(d)(frac{n}{d})^2-3sum_{d|n}mu(d)frac{n}{d}+2sum_{d|n}mu(d)=h(n)-3varphi (n)+2[n=1]$

现在需要知道这三坨东西的前缀和。其中欧拉函数之前写过了，[n=1]的话。。然后就剩个$h(n)$也就是$sum_{d|n}mu(d)(frac{n}{d})^2$。

$sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}mu (d)(frac{i}{d})^2=sum_{k=1}^{n}k^2sum_{d=1}^{left lfloor frac{n}{k} ight floor}mu (d)$。

莫比乌斯的前缀和就可以杜教筛啦！！

方法一是便捷的方式，但方法二是常用的套路，各有千秋。代码方法一。

#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
//#include<assert.h>
#include<algorithm> 
//#include<iostream>
//#include<bitset>
using namespace std;

int T,n,pr;
#define maxn 1000011
#define LL long long
const int mod=1e9+7;
LL s[maxn],f[maxn];
void pre(int n)
{
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]+=1ll*i*i-3*i+2;
        for (int j=i+i;j<=n;j+=i) f[j]-=f[i];
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) s[i]=((s[i-1]+f[i])%mod+mod)%mod;
}

struct Edge{int to,v,next;};
#define maxh 1000007
struct Hash
{
    int first[maxh],le; Edge edge[maxn];
    Hash() {le=2;}
    void insert(int y,int v)
    {int x=y%maxh; Edge &e=edge[le]; e.to=y; e.v=v; e.next=first[x]; first[x]=le++;}
    int find(int y)
    {int x=y%maxh; for (int i=first[x];i;i=edge[i].next) if (edge[i].to==y) return edge[i].v; return -1;}
}h;

int six=(mod+1)/6,two=(mod+1)>>1;
int calc(int n)
{
    if (n<=pr) return s[n];
    int tmp=h.find(n); if (tmp!=-1) return tmp;
    int tot=0;
    for (int i=2,last;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        tot+=(last-i+1)*1ll*calc(n/i)%mod;
        tot-=tot>=mod?mod:0;
    }
    int ans=((six*1ll*n%mod*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod-two*3ll*n%mod*(n+1)%mod+2*n)%mod+mod)%mod;
    ans=(ans-tot+mod)%mod;
    h.insert(n,ans);
    return ans;
}

int main()
{
    pre(pr=1000000);
    scanf("%d",&T);
    while (T--) scanf("%d",&n),printf("%d
",calc(n));
    return 0;
}