BZOJ3992: [SDOI2015]序列统计

n<=1e9的序列，m<=8000是质数，给mod m下的s个不同数字，问：在序列里填集合中的数字，使最终序列里所有数的乘积mod m后为给定的x的序列有多少种。

喵喵题

首先可能可以往排列组合那边想，决定每个数选几个然后再全排列。但这个n有点大，行不通。

题目要求“选择若干项，求最终积为给定值的方案”，有一个方便解决的类似问题：“选择若干项，求最终和为给定值的方案”，这个是生成函数的经典应用。把值当下标，系数表示方案数，两个生成函数一成，选择的项数就相加。这样就可以多项式快速幂得到答案。

详细的

那就好了。

好了个头这里是乘法，mod意义下的乘法转加法--用指标！

//#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
//#include<math.h>
//#include<time.h>
//#include<complex>
#include<algorithm>
using namespace std;

int pp,m,n,wei,X,ls,mm,g;
#define maxn 20011
int c[maxn],a[maxn],ind[maxn];

int powmod(int a,int b,int mod)
{
    int ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod; b>>=1;
    }
    return ans;
}

int pr[maxn],lp;
int findroot(int x)
{
    lp=0;
    int tmp=x-1;
    for (int i=2;1ll*i*i<=tmp;i++) if (tmp%i==0)
    {
        pr[++lp]=i;
        while (tmp%i==0) tmp/=i;
    }
    if (tmp>1) pr[++lp]=tmp;
    for (int i=2;i<=x-1;i++)
    {
        bool flag=1;
        for (int j=1;j<=lp;j++) if (powmod(i,(x-1)/pr[j],x)==1) {flag=0; break;}
        if (flag) return i;
    }
}

const int mod=1004535809,G=findroot(mod); int rev[maxn];
void dft(int *a,int n,int type)
{
    for (int i=0;i<n;i++) if (i<rev[i]) {int t=a[i]; a[i]=a[rev[i]]; a[rev[i]]=t;}
    for (int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        int w=powmod(G,(mod-1)/(i<<1),mod);
        if (type==-1) w=powmod(w,mod-2,mod);
        for (int j=0,p=i<<1;j<n;j+=p)
        {
            int t=1;
            for (int k=0;k<i;k++,t=1ll*t*w%mod)
            {
                int tmp=1ll*t*a[j+k+i]%mod;
                a[j+k+i]=(a[j+k]-tmp+mod)%mod;
                a[j+k]=(a[j+k]+tmp)%mod;
            }
        }
    }
}

void ntt(int *a,int *b,int *c)
{
    if (!rev[1]) for (int i=0;i<n;i++)
    {
        rev[i]=0;
        for (int j=0;j<wei;j++) rev[i]|=((i>>j)&1)<<(wei-j-1);
    }
    dft(a,n,1); dft(b,n,1);
    for (int i=0;i<n;i++) c[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    dft(c,n,-1); int inv=powmod(n,mod-2,mod);
    for (int i=0;i<n;i++) c[i]=1ll*c[i]*inv%mod;
    for (int i=0;i<=mm-2;i++) c[i]=(c[i]+c[i+mm-1])%mod,c[i+mm-1]=0;
}

int hh[maxn],hhh[maxn];
void powmod2(int *a,int b,int *ans)
{
    bool flag=1;
    while (b)
    {
        if (b&1)
        {
            if (flag) memcpy(ans,a,sizeof(hh)),flag=0;
            else
            {
                memcpy(hh,ans,sizeof(hh));
                memcpy(hhh,a,sizeof(hhh));
                ntt(hh,hhh,ans);
            }
        }
        b>>=1;
        memcpy(hh,a,sizeof(hh));
        memcpy(hhh,a,sizeof(hhh));
        ntt(hh,hhh,a);
    }
}

int ans[maxn];
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&pp,&mm,&X,&ls);
    for (int i=1,x;i<=ls;i++) scanf("%d",&x),c[x]=1;
    g=findroot(mm); ind[1]=0;
    for (int i=g,cnt=1;i!=1;i=i*1ll*g%mm,cnt++) ind[i]=cnt;
    for (int i=1;i<=mm-1;i++) a[ind[i]]=c[i];
    m=mm-2+mm-2; for (n=1,wei=0;n<=m;n<<=1,wei++);
    powmod2(a,pp,ans);
    printf("%d
",ans[ind[X]]);
    return 0;
}