BZOJ4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和

$n<=100000$求$sum_{i=0}^{n}sum_{j=0}^{i}s(i,j)*2^j*(j!)$，其中$S(i,j)$表示第二类斯特林数。

方法一：多项式求逆。不会。

方法二：

$S(i,j)=frac{1}{j!}sum_{k=0}^{j}(-1)^kC_j^k(j-k)^i$，代入得（这里由于j>i是S(i,j)=0因此j可以枚举到n）

$sum_{i=0}^{n}sum_{j=0}^{i}s(i,j)*2^j*(j!)$

$=sum_{i=0}^{n}sum_{j=0}^{n}2^j*(j!)*frac{1}{j!}sum_{k=0}^{j}(-1)^kC_j^k(j-k)^i$

$=sum_{j=0}^{n}2^jsum_{k=0}^{j}(-1)^kC_j^ksum_{i=0}^{n}(j-k)^i$

$=sum_{j=0}^{n}2^j*(j!)sum_{k=0}^{j}frac{(-1)^k}{k!}frac{sum_{i=0}^{n}(j-k)^i}{(j-k)!}$

后面俩卷积。搞定。

注意预处理时的边界情况。比如i=0,i=1,i=2之类的。

//#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
//#include<map>
#include<math.h>
//#include<time.h>
//#include<complex>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
int n,m,wei;
#define maxn 262222
const int mod=998244353,G=3; int rev[maxn];

int powmod(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod; b>>=1;
    }
    return ans;
}

void dft(int *a,int n,int type)
{
    if (!rev[1]) for (int i=0;i<n;i++)
    {
        rev[i]=0;
        for (int j=0;j<wei;j++) rev[i]|=((i>>j)&1)<<(wei-j-1);
    }
    for (int i=0;i<n;i++) if (i<rev[i]) {int t=a[i]; a[i]=a[rev[i]]; a[rev[i]]=t;}
    for (int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        int w=powmod(G,(mod-1)/(i<<1));
        if (type==-1) w=powmod(w,mod-2);
        for (int j=0,p=i<<1;j<n;j+=p)
        {
            int t=1;
            for (int k=0;k<i;k++,t=1ll*t*w%mod)
            {
                int tmp=1ll*t*a[j+k+i]%mod;
                a[j+k+i]=(a[j+k]-tmp+mod)%mod;
                a[j+k]=(a[j+k]+tmp)%mod;
            }
        }
    }
    if (type==-1)
    {
        int inv=powmod(n,mod-2);
        for (int i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
    }
}

void ntt(int *a,int *b,int *c)
{
    dft(a,n,1); dft(b,n,1);
    for (int i=0;i<n;i++) c[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    dft(c,n,-1);
}

int two[maxn],fac[maxn],inv[maxn],ni[maxn],g[maxn],h[maxn],f[maxn];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    two[0]=1; for (int i=1;i<=n;i++) two[i]=(two[i-1]<<1)%mod;
    fac[0]=1; for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    inv[n]=powmod(fac[n],mod-2); for (int i=n;i;i--) inv[i-1]=inv[i]*1ll*i%mod;
    ni[1]=1; for (int i=2;i<=n;i++) ni[i]=ni[mod%i]*1ll*(mod-mod/i)%mod;
    
    g[0]=1; g[1]=n+1; g[2]=(powmod(2,n+1)-1)*1ll*ni[2]%mod;
    for (int i=3;i<=n;i++) g[i]=1ll*(mod/(i-1)*1ll*ni[mod%(i-1)]%mod)*(mod+1-powmod(i,n+1))%mod*inv[i]%mod;
    for (int i=0;i<=n;i++) h[i]=1ll*((i&1)?mod-1:1)*inv[i]%mod;
    
    m=n+n; for (n=1,wei=0;n<=m;n<<=1,wei++);
    ntt(h,g,f); m>>=1;
    int ans=0;
    for (int i=0;i<=m;i++) ans=(ans+1ll*two[i]*fac[i]%mod*f[i]%mod)%mod;
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

好方法一会了。

从定义上出发，$s(i,j)$是$i$个数分成$j$个集合，再乘个$j!$就排列，再乘个$2^j$就染黑白。

OK可以递推了，枚举最后一个集合是谁，$f(i)=sum_{j=0}^{i}s(i,j)*2^j*(j!)=sum_{j=1}^{i}2C_i^jf(i-j)=sum_{j=1}^{i}frac{2*i!*f(i-j)}{j!(i-j)!}$

$i!$提出来丢左边，$frac{f(i)}{i!}=sum_{j=1}^{i}frac{2}{j!}frac{f(i-j)}{(i-j)!}$，一卷积。

令$g(i)=frac{f(i)}{i!}$，$h(i)=frac{2}{i!}$，要卷积就来生成函数吧，现在$g(x)$，$h(x)$表示各自的生成函数。

打住！这里卷积不希望有$h(0)g(i)$这项！！那钦定$h(x)$常数项为0.

等等$g(x)$的常数项是1啊！那就$g=g*h+1$。

于是$g=frac{1}{1-h}$。

搞定。求(1-h)的逆即可。

//#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
//#include<map>
#include<math.h>
//#include<time.h>
//#include<complex>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,m,wei;
#define maxn 262222
const int mod=998244353,G=3; int rev[maxn];

int powmod(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod; b>>=1;
    }
    return ans;
}

void dft(int *a,int n,int type)
{
    int wei=-1,tnt=n;
    while (tnt) wei++,tnt>>=1;
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        rev[i]=0;
        for (int j=0;j<wei;j++) rev[i]|=((i>>j)&1)<<(wei-j-1);
    }
    for (int i=0;i<n;i++) if (i<rev[i]) {int t=a[i]; a[i]=a[rev[i]]; a[rev[i]]=t;}
    for (int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        int w=powmod(G,(mod-1)/(i<<1));
        if (type==-1) w=powmod(w,mod-2);
        for (int j=0,p=i<<1;j<n;j+=p)
        {
            int t=1;
            for (int k=0;k<i;k++,t=1ll*t*w%mod)
            {
                int tmp=1ll*t*a[i+j+k]%mod;
                a[j+k+i]=(a[j+k]-tmp+mod)%mod;
                a[j+k]=(a[j+k]+tmp)%mod;
            }
        }
    }
    if (type==-1)
    {
        int inv=powmod(n,mod-2);
        for (int i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
    }
}

int fac[maxn],inv[maxn],h[maxn],g[maxn],tmp[maxn];
void nee(int *a,int n,int *ans)
{
    if (n==1) {ans[0]=powmod(a[0],mod-2); return;}
    nee(a,n>>1,ans);
    for (int i=0;i<(n>>1);i++) tmp[i]=a[i]; for (int i=(n>>1);i<n;i++) tmp[i]=0;
    dft(ans,n,1); dft(tmp,n,1);
    for (int i=0;i<n;i++) ans[i]=((ans[i]+ans[i]-1ll*ans[i]*ans[i]%mod*tmp[i]%mod)+mod)%mod;
    dft(ans,n,-1); for (int i=n>>1;i<n;i++) ans[i]=0;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    fac[0]=1; for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*1ll*i%mod;
    inv[n]=powmod(fac[n],mod-2); for (int i=n;i;i--) inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mod;
    h[0]=1; for (int i=1;i<=n;i++) h[i]=(mod+mod-inv[i]-inv[i])%mod;
    
    m=n+n; for (n=1,wei=0;n<=m;n<<=1,wei++);
    nee(h,n,g); m>>=1;
    int ans=0;
    for (int i=0;i<=m;i++) ans=(ans+1ll*fac[i]*g[i])%mod;
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}