思维定势--AtCoder Regular Contest 092 D

$n leq 100000$的俩序列，数字范围$2^{28}$，问所有$a_i+b_j$的$n^2$个数字的异或和。

这种东西肯定是按位考虑嘛，从低位开始然后补上进位。比如说第一位俩串分别有$c$个$1$和$e$个$1$，$d$个$0$和$f$个$0$，然后这一位就是$c*f+e*d$个$1$，会进$c*e$个$1$给第二位。但这里没法解决连续进位的问题，因为连续进位必须去具体考察哪几个数字进了位，复杂度不对。

思维定势--考察某一位答案时从“模拟加法”“进位”的角度，无法从中跳出是不可能出解的。

那换个方法呗，可以看到某一位的答案是由不高于这一位的所有位决定的。假如现在在第$k$位，把$a$和$b$的所有数字取出最低的$k$位，然后可以发现，$2^k leq a_i+b_j < 2^k*2$或$2^k*3 leq a_i+b_j < 2^k*4$时，这一位会产生一个1。这俩式子移下项，发现只要把$b$排序就可以枚举$a$然后二分答案了。

这个故事告诉我们，当发现自己陷入思维瓶颈的时候，一定要往后退一步。

其实退一步胜这种思想不仅应用于OI，在我国古代智慧中国象棋中也有这种想法。《梦入神机》中就有记载一篇名为《退一步胜》的残局，引用如下，转侵删：

好不引用了刷题去。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
//#include<queue>
//#include<time.h>
//#include<complex>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
 
int n;
#define maxn 200011
int a[maxn],b[maxn],na[maxn],nb[maxn];
int main()
{
    scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    int ans=0;
    for (int i=0;i<=28;i++)
    {
        for (int j=1;j<=n;j++) na[j]=a[j]&((1<<(i+1))-1),nb[j]=b[j]&((1<<(i+1))-1);
        sort(nb+1,nb+1+n); int t1=1<<i,t2=2*t1,t3=3*t1,t4=4*t1;
        int now=0;
        for (int j=1;j<=n;j++)
        {
            now^=(lower_bound(nb+1,nb+1+n,t2-na[j])-lower_bound(nb+1,nb+1+n,t1-na[j]))&1;
            now^=(lower_bound(nb+1,nb+1+n,t4-na[j])-lower_bound(nb+1,nb+1+n,t3-na[j]))&1;
        }
        ans|=now<<i;
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}