51nod1026 矩阵中不重复的元素 V2

$n leq 500000,m leq 500000$的矩阵，第一行第一列是$a^b,2 leq a,b leq 500000$，如果一个数是$i^j$那他右边是$i^{j+1}$，下面是${i+1}^{j}$，问这个矩阵里有多少不同的数字。

把数字化成“基”来统筹统计一些重复情况。意思就是：$a=prod_{i=1}^{k}p_i^{b_i}$，其中$gcd(b_1,b_2,...,b_k)=1$，那么这些$a$就可以当基，他的若干次幂在比他小的行中一定不会出现，而他的平方，三次方，这些行可能会跟他有部分重复。因此这些行单独拿出来考虑。可以看一下次数：

$a^{1*1} a^{1*2} a^{1*3}...$

$a^{2*1} a^{2*2} a^{2*3}...$

$a^{3*1} a^{3*2} a^{3*3}...$

如此，只需要在这样的矩形里的一段连续行中去重就可以了。一次考虑一个记，元素总数是$log_an*m$的，但总的元素总数仍是$n*m$的。

可以观察到，随着基变大，这个抽象出来的矩形的连续行（叫$[L,R]$）的$L$和$R$都会变小。而这个矩形的数字范围只有$mlogn$，可以开个桶来算每次多出或损失的行。总复杂度变成这个矩形的元素总数$mlogn$。

V3暂时不会QAQ是用容斥的观点进行搜索+剪枝的，希望能回来填坑。

//#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//#include<time.h>
//#include<complex>
//#include<set>
#include<queue>
//#include<vector>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

#define LL long long
int qread()
{
    char c; int s=0,f=1; while ((c=getchar())<'0' || c>'9') (c=='-') && (f=-1);
    do s=s*10+c-'0'; while ((c=getchar())>='0' && c<='9'); return s*f;
}

//Pay attention to '-' , LL and double of qread!!!!

int n,m,a,b;
#define maxn 1000011
#define maxm 10000011

//int prime[maxn],lp,xx[maxn]; bool notprime[maxn];
//void makeprime(int n)
//{
//    lp=0;
//    for (int i=2;i<=n;i++)
//    {
//        if (!notprime[i]) {prime[++lp]=i; xx[i]=i;}
//        for (int tmp,j=1;j<=lp && 1ll*i*prime[j]<=n;j++)
//        {
//            notprime[tmp=i*prime[j]]=1; xx[tmp]=prime[j];
//            if (!(i%prime[j])) break;
//        }
//    }
//}

int cnt[maxm]; bool vis[maxn];
int main()
{
    m=qread(); n=qread(); a=qread(); b=qread(); int N=a+n-1,M=b+m-1;
//    makeprime(a+n);
    
    int L=0,R=20; while ((1<<L)<a) vis[1<<L]=1,L++; while ((1<<R)>N) R--;
//    cout<<L<<' '<<R<<endl;
    for (int i=L;i<=R;i++) vis[1<<i]=1;
    LL ans=0; int now=0;
    for (int j=L,tmp;j<=R;j++)
        for (int k=b;k<=M;k++)
        {
            if (cnt[tmp=j*k]==0) now++;
            cnt[tmp]++;
        }
    ans+=now;
    for (int i=3;i<=N;i++) if (!vis[i])
    {
        int nl=0,nr=0; LL tmp=1;
        for (;tmp<a;tmp*=i,nl++) vis[tmp]=1;
        nr=nl; for (;tmp<=N;tmp*=i,nr++) vis[tmp]=1; nr--;
//        cout<<nl<<' '<<nr<<endl;
        for (int j=L-1;j>=nl;j--)
            for (int k=b;k<=M;k++)
            {
                if (cnt[tmp=j*k]==0) now++;
                cnt[tmp]++;
            }
        L=nl;
        for (int j=R;j>nr;j--)
            for (int k=b;k<=M;k++)
            {
                cnt[tmp=j*k]--;
                if (cnt[tmp]==0) now--;
            }
        R=nr;
        ans+=now;
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}