两个字符串的编辑距离学习[转载]

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1.概念

 字符串的编辑距离，又称为Levenshtein距离，由俄罗斯的数学家Vladimir Levenshtein在1965年提出。是指利用字符操作，把字符串A转换成字符串B所需要的最少操作数。其中，字符操作包括：

• 删除一个字符     a) Insert a character

• 插入一个字符     b) Delete a character

• 修改一个字符     c) Replace a character

 例如对于字符串"if"和"iff"，可以通过插入一个'f'或者删除一个'f'来达到目的。

一般来说，两个字符串的编辑距离越小，则它们越相似。如果两个字符串相等，则它们的编辑距离（为了方便，本文后续出现的“距离”，如果没有特别说明，则默认为“编辑距离”）为0（不需要任何操作）。

2.问题提出

给定两个字符串A和B，求字符串A至少经过多少步字符操作变成字符串B。 

1）首先考虑A串的第一个字符

  假设存在两个字符串A和B，他们的长度分别是lenA和lenB。首先考虑第一个字符，由于他们是一样的，所以只需要计算A[2...lenA]和B[2...lenB]之间的距离即可。那么如果两个字符串的第一个字符不一样怎么办？可以考虑把第一个字符变成一样的（这里假设从A串变成B串）：

修改A串的第一个字符成B串的第一个字符，之后仅需要计算A[2...lenA]和B[2...lenB]的距离即可；
删除A串的第一个字符，之后仅需要计算A[2...lenA]和B[1...lenB]的距离即可；
把B串的第一个字符插入到A串的第一个字符之前，之后仅需要计算A[1...lenA]和B[2...lenB]的距离即可。

2）接下来考虑A串的第i个字符和B串的第j个字符。

  我们这个时候不考虑A的前i-1字符和B串的第j-1个字符。如果A串的第i个字符和B串的第j个字符相等，即A[i]=B[j]，则只需要计算A[i+1...lenA]和B[j+1...lenB]之间的距离即可。如果不相等，则：

修改A串的第i个字符成B串的第j个字符，之后仅需要计算A[i+1...lenA]和B[j+1...lenB]的距离即可；
删除A串的第i个字符，之后仅需要计算A[i+1...lenA]和B[j...lenB]的距离即可；
把B串的第j个字符插入到A串的第i个字符之前，之后仅需要计算A[i...lenA]和B[j+1...lenB]的距离即可。
  写到这里，自然会想到用递归求解或者动态规划求解，由于用递归会产生很多重复解，所以用动态规划。

 3.使用动态规划求解

用edit[i][j]表示A串和B串的编辑距离。edit[i][j]表示A串从第0个字符开始到第i个字符和B串从第0个字符开始到第j个字符，这两个字串的编辑距离。字符串的下标从1开始。

dis[0][0]表示word1和word2都为空的时候，此时他们的Edit Distance为0。很明显可以得出的，dis[0][j]就是word1为空，word2长度为j的情况，此时他们的Edit Distance为j，也就是从空，添加j个字符转换成word2的最小Edit Distance为j；同理dis[i][0]就是，word1长度为i，word2为空时，word1需要删除i个字符才能转换成空，所以转换成word2的最小Edit Distance为i。

其中flag:

edit[i-1][j]+1相当于给word2的最后插入了word1的最后的字符，插入操作使得edit+1，之后计算edit[i-1][j]；

edit[i][j-1]+1相当于将word2的最后字符删除，删除操作edit+1，之后计算edit[i][j-1];

edit[i-1][j-1]+flag相当于通过将word2的最后一个字符替换为word1的最后一个字符。flag标记替换的有效次数。

//下标减，表示之前的被匹配上了。

4.实例分析

比如要计算cafe和coffee的编辑距离。cafe→caffe→coffe→coffee

先创建一个5×7的表（cafe长度为4，coffee长度为6）

首先初始化：

最终结果：

附上我的计算过程：

//其中出现水平或者竖直时可以认为是插入或者删除，这个例子中反推时会出现a和f比较，那么翻译过来就是a换成f,或者是f换成a。

5.代码实现

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