欧拉函数及其性质

1. 欧拉函数定义

欧拉函数φ(n)表示的是小于等于n且和n互质的正整数的个数。（易知φ(1) = 1）

2. 欧拉函数公式

对于任意整数n，若其质因数分解结果为n = p₁^k₁ p₂^k₁ ... p_n^k_n ，则欧拉函数公式为

φ(n) = n(1-1/p₁)(1-1/p₂)...(1-1/p_n)

 

3. 欧拉函数性质

 （1）欧拉函数为积性函数。（对于数论函数 f(n) 不恒等于0，当 (m,n) = 1 时，满足 f(mn) = f(m)f(n) ，则称 f(n) 为积性函数）

φ(mn) = φ(m)φ(n)，(m,n) = 1

 （2）若 (m,n) = d，则

φ(mn) = dφ(m)φ(n)/φ(d)

 （3）若m、n满足m|n，则

φ(mn) = mφ(n)

 （4）若m、n满足m|n，则

φ(m)|φ(n)

 （5）对于质数p，其欧拉函数公式为

φ(p) = p-1

 （6）对于质数p，p^k的欧拉函数公式为

φ(p^k) = (p-1)p^k-1

 （7）小于等于n且整除n的所有正整数的欧拉函数值之和等于n，即

n = Σ_d|nφ(d)

 （8）欧拉定理：若(a,m) = 1，则 a^φ(m) ≡ 1 (mod m)。

 （9）扩展欧拉定理

a^x ≡ a^{x mod φ(m)} (mod m)，(a,m) = 1

或 a^x ≡ a^x  (mod m)，(a,m) ≠ 1且x < φ(m)

或 a^x ≡ a^{x mod φ(m) + φ(m)} (mod m)，(a,m) ≠ 1且x ≥ φ(m)