【做题笔记】洛谷P4513小白逛公园

很水的紫题

题目大意

给您一个长度为 (n) 的序列，您需要写一个数据结构，支持以下操作

1. 查询 ([l,r]) 的最大字段和；
2. 把 (a_p) 变成 (s) 。

solution

显然考虑线段树。

对于操作二，更改 (a_p) 在线段树中会影响到的结点即可。

单独考虑操作一。

其实有一种 (mathcal{O}(n)) 的求最大子段和的做法，但本题需要一个 (mathcal{O}(logn)) 的做法。

放个图：

对于这样一个区间，她的最大子段和只有三种可能：完全在左区间，完全在右区间，或者是贯穿了左右区间。

然后分别在左、右区间的最大字段和怎么维护待会讲

贯穿了中线的那个其实也很好维护，只要记录左区间的后缀，右区间的前缀，然后贯穿中线的就是这两个加起来。

所以这一整个区间的最大子段和就是上述三种可能的最大值。

那么现在问题聚焦在了如何求左区间的最大子段和、右区间的最大子段和。

以左区间为例，把左区间再次一分为二，现在要求左区间的最大子段和：

这种情况也就是左区间的最大子段和

这种情况也就是左区间和+右区间左半边最大子段和

然后不断递归就能搞到答案了。

右区间同理。

说到底，仍然是递归的思想。

有一些细节，见代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define DEBUG printf("This is OK
")

using namespace std;

int n,q,a[5000100];

struct SegmentTree
{
	int l,r;
	long long lmax,rmax,ans,sum;
	#define l(x) t[x].l
	#define r(x) t[x].r
	#define lmax(x) t[x].lmax //lmax是左区间最大子段和
	#define rmax(x) t[x].rmax //rmax是右区间最大子段和
	#define ans(x) t[x].ans //ans是整个 [l,r] 的最大子段和
	#define sum(x) t[x].sum
};
SegmentTree t[4*5000010];

void merge(int p) //合并信息
{
	sum(p)=sum(p*2)+sum(p*2+1); //区间和
	lmax(p)=max(lmax(p*2),lmax(p*2+1)+sum(p*2)); 
	rmax(p)=max(rmax(p*2+1),rmax(p*2)+sum(p*2+1));
	ans(p)=max(max(ans(p*2),ans(p*2+1)),lmax(p*2+1)+rmax(p*2));
    //以上合并信息同思路
}

void build(int p,int l,int r)
{
	l(p)=l,r(p)=r;
	if(l==r) {sum(p)=lmax(p)=rmax(p)=ans(p)=a[l];return ;}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(p*2,l,mid);
	build(p*2+1,mid+1,r);
	merge(p); //合并信息
}

void change(int p,int x,int v)
{
	if(l(p)==r(p))
	{
		sum(p)=lmax(p)=rmax(p)=ans(p)=v;
		return ;
	}
	int mid=(l(p)+r(p))>>1;
	if(x<=mid) change(p*2,x,v);
	else change(p*2+1,x,v);
	merge(p); //进行了更改，更新信息
}

SegmentTree ask(int p,int l,int r) //由于这里需要涉及多个结构体信息，所以直接把ask函数变成一个结构体函数
{
	if(l<=l(p)&&r>=r(p)) return t[p];
	int mid=(l(p)+r(p))>>1;
	if(r<=mid) return ask(p*2,l,r); //如果右端点都在左半段，那直接去查左半段就好了
	else if (l>mid) return ask(p*2+1,l,r); //同上
	else //既有右端点，又有左端点
	{
		SegmentTree x=ask(p*2,l,r),y=ask(p*2+1,l,r),node;
        //x，y是左、右区间的信息
		node.sum=x.sum+y.sum;
		node.lmax=max(x.lmax,x.sum+y.lmax);
		node.rmax=max(y.rmax,y.sum+x.rmax);
		node.ans=max(max(x.ans,y.ans),x.rmax+y.lmax); //和那个meger函数一样的思路。
		return node;
	}
}

inline int read()
{
	int s=0,w=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0' , ch=getchar();
	return s*w;
}

int main()
{
	n=read(),q=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	build(1,1,n);
	//DEBUG;
	while(q--)
	{
		int K;
		K=read();
		if(K==1)
		{
			int l,r;
			l=read(),r=read();
			if(l>r) swap(l,r);
			SegmentTree ans=ask(1,l,r);
			cout<<ans.ans<<"
";
		}
		else
		{
			int p,s;
			p=read(),s=read();
			change(1,p,s);
		}
	}
	return 0;
}