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  • 阶乘末尾0的个数

    问题很简单:给定一个整数n,那么n的阶乘末尾有多少个连续的0呢?

    那个可以去求这个阶乘吗,大数的代码上去一套?这个大数求出来肯定是很慢的,还有其他方法吗,你可以观察一个产生0,本质是2*5,出现了2一定会出现5,2的个数会大于5的个数,所以我可以直接统计5的个数,统计每个数有几个因子5

    数学理解:

    阶乘中有多少0,如果N!=K*m,K是一个不能被10整除的数,那么m有多少个就有多少个0
    N!进行质因数分解N!=(2^x)*(3^y)*(5^z)···,由于只有2*5=10,所以可以看有多少对
    2和5,就有多少个0,M=min(x,z),而能被2整除的比能被5整除的多,M=z

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int main()
    {
        int n;
        while (cin >> n)
        {
            int num = 0 ,i;
            for(int m=1;m<=n;m++)
            {
                i=m;
                while (i % 5 == 0)
                {
                    i=i/5;
                    num++;
                }
            }
            cout << num << endl;
        }
    }

    当然可以直接关注5

    f(5!) = 1 + f(1!) = 1
    f(10!) = 2 + f(2!) = 2
    f(20!) = 4 + f(4!) = 4
    f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
    f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249

    数学表达

    n = 5*K + r(0<= r <= 4)

    n! = (5*K) * (5*(K-1)) * (5*(K-2)) * ... * 5 * A

    f(n!) = g(n!) = g(5^K * K! * A) = K + g(K!) = K + f(K!),其中K=n / 5(取整数)。

    0 <= n <= 4时,f(n!)=0

    递归写法

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int f(int x)
    {
        if(x<5)return 0;
        return f(x/5)+x/5;
    }
    int main()
    {
        int n;
        while (cin >> n)
        {
            cout << f(n) << endl;
        }
    }

    每隔5*5,会多产生一个0,比如25,50,75,...(这里的5只在上一种情况算了一个5,因此在这里加上25=5*5上次只算了一个5)

    每隔5*5*5又会多出一个0,和第二个同理

    循环进制

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int main()
    {
        int n;
        while (cin >> n)
        {
            int num = 0;
            while (n > 0) {
                num += n / 5;
                n /= 5;
            }
            cout << num << endl;
        }
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/BobHuang/p/12245428.html
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