回溯算法是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
回溯法解决的问题可以用树结构来描述，每个状态下都对应有n种选择。以全排列问题为例，如对[1, 2, 3]进行全排列，每次从1, 2, 3中选择了一个值后，下一次又可以从1, 2, 3中选择一个值，将这个过程绘制成一棵树，每个节点都有1, 2, 3三个子节点。通常对树的遍历为深度优先的方式，即先序遍历的方式，如果遍历整个树结构，那么时间复杂度将是指数级的，回溯法则通过一定的条件判断，当节点不满足条件时，就会回退到上一个节点，然后再开始下一次的遍历，从而对树进行剪枝，减少需要遍历的路径。如排列的结果无重复值，这一回溯条件可减去多余的路径，同时回溯法还有终止条件，如排列结果长度为3。
因此，解决一个回溯问题，实际上就是一个决策树的遍历过程。有四个要素需要考虑：
- 当前路径：指的是已经做出的选择。
- 选择列表：指的是当前所有可做的选择。
- 回溯条件：指的是判断选择是否有效。
- 终止条件：指的是到达决策树底层，无法再做选择的条件。
代码方面，回溯算法的框架如下，其核心就是 for 循环里面的递归，在递归调用之前「做选择」，在递归调用之后「撤销选择」。
result = [] def backtrack(当前路径, 选择列表): if 满足终止条件: result.add(路径) return for 选择 in 选择列表: if 选择满足回溯条件： 做选择 backtrack(当前路径, 选择列表) 撤销选择
一、全排列问题
下面还是以全排列（LeetCode-46）为例，在红色节点状态时，当前路径为[2]，可选择的数字是[1,2,3]，但是满足回溯条件即无重复值的只有[1,3]，终止条件为全排列结果长度为3。
代码如下：
class Solution { public: vector<vector<int>> res; vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) { vector<int> tmp; backtrack(tmp,nums); return res; } // 当前路径：记录在tmp中 // 选择列表：nums中的数 // 回溯条件：tmp中的数不重复 // 结束条件：tmp与nums长度相等 void backtrack(vector<int> tmp,vector<int> nums) { // 终止条件 if(tmp.size() == nums.size()) { res.push_back(tmp); return; } for(int i=0;i<nums.size();i++) { vector<int>::iterator iter; iter = std::find(tmp.begin(),tmp.end(),nums[i]); // 回溯条件 if(iter==tmp.end()) { // 做选择 tmp.push_back(nums[i]); // 递归至下一状态 backtrack(tmp,nums); // 撤销选择 tmp.pop_back(); } } } };
至此，我们就通过全排列问题详解了回溯算法的底层原理。当然，这个算法解决全排列不是很高效，因为对vector使用find需要 O(N) 的时间复杂度。有更好的方法通过交换元素达到目的。但是必须说明的是，不管怎么优化，都符合回溯框架，而且时间复杂度都不可能低于O(N!)，因为穷举整棵决策树是无法避免的。这也是回溯算法的一个特点，不像动态规划存在重叠子问题可以优化，回溯算法就是纯暴力穷举，复杂度一般都很高。
二、括号生成问题
给出n代表生成括号的对数，请你写出一个函数，使其能够生成所有可能的并且有效的括号组合（LeetCode-22）。例如，给出n = 3，生成结果为：["((()))", "(()())", "(())()", "()(())", "()()()"]。
合法括号组合满足以下两点条件：
- 一个合法括号组合的左括号数一定等于右括号数，这个显而易见。
- 一个合法括号组合生成过程中，左括号生成数一定大于等于右括号生成数。比如这个括号组合"))(("，前几个子串都是右括号多于左括号，显然不是合法的括号组合。
根据上述的回溯法四个要素，我们逐个分析，对于红色节点，当前路径为“((”；可选择的数字是[‘(’, ‘)’]；回溯条件为：选择左括号条件是当前左括号数小于n，选择右括号条件是当前右括号生成数小于左括号数；终止条件为：总括号生成数等于n*2。代码如下：
class Solution { public: vector<string> res; int left = 0; int right = 0; vector<string> generateParenthesis(int n) { backtrace("",n); return res; } // 当前路径：记录在tmp中 // 选择列表：‘(’,‘)’ // 回溯条件：‘(’:left < n; ‘)’:right < left // 结束条件：tmp长度等于2*n void backtrace(string tmp,int n) { // 终止条件 if(tmp.size()==n*2)’’ { res.push_back(tmp); return; } // 回溯条件 if(left < n) { // 做选择 tmp.push_back('('); left++; backtrace(tmp,n); // 撤销选择 tmp.pop_back(); left--; } // 回溯条件 if(right < left) { // 做选择 tmp.push_back(')'); right++; backtrace(tmp,n); // 撤销选择 tmp.pop_back(); right--; } } };