动态规划的思想实质是分治思想和解决冗余，与分治算法类似将原问题分解成若干个子问题，先求解子问题，再从这些子问题的解得到原问题的解。不同于分治算法，经分解的子问题往往不是互相独立的，通过保存已解决的子问题的答案，避免对子问题重复计算、节省时间，也就是解决冗余。
那么动态规划解决的问题是什么样的呢？动态规划解决的问题一般是最优化问题，也就是比如最大子序和、最小编辑距离等最值问题，或者背包问题、打家劫舍等最优方案问题。这些问题有以下几个特点：
- 最优子结构：即问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，具有最优子结构，满足最优化原理。
- 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
- 重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法不具备解决冗余的优势。
下面以经典的爬楼梯（LeetCode-70）为例，分析动态规划的问题特点以及基本思想。你正在爬一个有个N个台阶的楼梯，每次只能上1个或者2个台阶，那么到达顶端共有多少种不同的方法？
首先分析此问题是否符合动态规划问题，假设从0到达第N个台阶的方法共有f(N)个，到达N个台阶，有两种可能，第一种可能是从第N-1个台阶上1个台阶到达终点，第二种可能是从第N-2个台阶上2个台阶到达终点，则f(N) = f(N-1) + f(N-2)。这一点满足最优子结构性质，即原问题可分解成若干个子问题，当子问题得到最优解则原问题得最优解。由于f(N)与f(N+i)无关，其中i > 0，所以f(N)问题无后效性。我们可以通过递归求得f(N)，代码如下：
int climbStairs (int n) { if (n == 0 || n == 1) return 1; return climbStairs (n - 1) + climbStairs (n - 2); }
假设N = 20，通过递归树可以发现，计算原问题f(20)，需先计算出子问题f(19)和f(18)，然后要计算f(19)，需先算出子问题f(18)和f(17)，以此类推直到f(1)或者f(2)返回结果，递归树不再向下生长了。显然递归树节点总数为指数级别，递归算法的时间复杂度为O(2^n)，耗时严重。低效的原因在于存在大量重复计算，比如f(18)被计算了两次，导致大量的耗时，并且之后每个子问题基本都被重复计算。所以此问题满足动态规划另一种性质：重叠子问题。
既然直接递归存在很大的冗余，那么我们可以通过备忘录来记录递归过程中子问题的解，备忘录可以是数组也可以是哈希表，求解子问题时先查看备忘录是否已经解决过，是则直接取解，否则求完解后记录上去，从而避免重复计算。代码如下：
int climbStairs (int n) {// 备忘录初始化 vector<int> memo(n + 1, 0); // 初始化最简情况 return helper(memo, n); } int helper(vector<int>& memo, int n) { if (n == 0 || n == 1) return 1; // 已经计算过 if (memo[n] != 0) return memo[n]; memo[n] = helper(memo, n - 1) + helper(memo, n - 2); return memo[n]; }
根据带备忘录的递归法，递归树如下图所示，我们可以发现，之前的大量冗余节点都被剪枝了，子问题的解被重复利用，省去了大量的时间消耗，时间复杂度降为O(n)。在该方法中，原问题通过递归逐步向下分解，直到f(1)和f(2)触底，然后逐层返回答案，我们称之为自顶向下。
而动态规划则是自底向上的解法，即从问题规模最小的f(1)和f(2)开始往上递推，直到我们想要原问题，动态规划同样需要类似于备忘录的DP表来记录递推过程中子问题的解，从而解决冗余，时间复杂度与带备忘录的递归法相同。其中dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]称之为状态转移方程，用来描述状态转移即状态递推的具体形式。代码如下：
int climbStairs (int n) { vector<int> dp(n + 1, 0); dp[0] = dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; return dp[n]; }
通过以上的例子，我们详细分析了动态规划的问题特点以及基本思想，接下来就要介绍解决动态规划问题的四点步骤：
明确状态 -> 定义 dp 表 -> 明确选择 -> 明确 base case。
比如，在爬楼梯问题中，我们各步骤如下：
（1）明确状态：原问题和子问题变化的是楼层，所以状态为楼层。
（2）定义dp表：用数组dp[n]表示到达楼层n有dp(n)种方法。
（3）明确选择：对于每个状态，到达该状态可以选择上1个或者2个台阶。
（4）明确 base case：到达0层和1层只能有一种方法。
零钱兑换（LeetCode-322）
下面通过零钱兑换问题进一步了解动态规划问题解决步骤。
首先，这个问题是动态规划问题，因为它具有「最优子结构」，比如你想求amount = 11时的最少硬币数（原问题），如果你知道凑出amount = 10的最少硬币数（子问题），你只需要把子问题的答案加一（再选一枚面值为 1 的硬币）就是原问题的答案，因为硬币的数量是没有限制的，子问题之间没有相互制，是互相独立的。既然知道了这是个动态规划问题，就要思考如何列出正确的状态转移方程。
（1）明确状态：也就是原问题和子问题变化的变量，由于硬币数量无限，所以唯一的状态就是目标金额。
（2）定义dp表：用数组dp[n]表示当前的目标金额是n，至少需要dp(n)个硬币凑出该金额。
（3）明确选择：也就是对于每个状态，可以做出什么选择改变当前状态。具体到这个问题，无论当的目标金额是多少，选择就是从面额列表coins中选择一个硬币，然后目标金额就会减少。
（4）最后明确 base case：显然目标金额为 0 时，所需硬币数量为 0；当目标金额小于 0 时，无解，返回 -1。
代码如下：
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) { vector<int> dp(amount+1,amount+1); dp[0] = 0; for(int i=1;i<amount+1;i++) { for(int coin:coins) { if(i-coin>=0) { dp[i] = min(dp[i],dp[i-coin]+1); } } } return dp[amount]>amount?-1:dp[amount]; }