八皇后之回溯法解决

问题描述：

要在8*8的国际象棋棋盘中放8个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃掉。规则是皇后能吃掉同一行、同一列、同一对角线的棋子。如下图即是两种方案：

、

解决方案：

8*8的棋盘要摆放8个皇后，且不能同行同列同对角线，那么每行必定会有一个皇后。我们可以设一个数组a用来存放每一行皇后的位置，元素值表示第几列（如a[1]=5表示第一行的皇后处于第五个格）。然后只需要求出数组a的值 问题就解决了，下面介绍三种回溯解法：

1、八个for循环。用枚举的办法，八个for循环分别枚举每一行的8个位置，但是我们不用全部枚举完，可以采用“剪枝策略”，即遇到不适合的情况就回溯。例如当a[1]=4,第二行a[2]=4与a[1]同列，不符合题意。接下来的六个循环就不用穷举下去了，直接"continue;"去检验a[2]=5.....具体代码如下：

void main()
{
	int a[9];
	int i,t=1;
	for(a[1]=1;a[1]<9;a[1]++)
		for(a[2]=1;a[2]<9;a[2]++)
		{
			if(!Check(a,2))	continue;
			for(a[3]=1;a[3]<9;a[3]++)
			{
				if(!Check(a,3))	continue;
				for(a[4]=1;a[4]<9;a[4]++)
				{
					if(!Check(a,4))	continue;
					for(a[5]=1;a[5]<9;a[5]++)
					{
						if(!Check(a,5))	continue;
						for(a[6]=1;a[6]<9;a[6]++)
						{
							if(!Check(a,6))	continue;
							for(a[7]=1;a[7]<9;a[7]++)
							{
								if(!Check(a,7))	continue;
								for(a[8]=1;a[8]<9;a[8]++)
								{
									if(!Check(a,8))	continue;
									else 
									{
										printf("第%d种解法：
",t++);
										for(i=1;i<9;i++)
											printf("第%d个皇后：%d
",i,a[i]);
										printf("

");
}		}	}	}	}	}	}	}	}

/////////////////////////////////Check函数功能：检验第n行的皇后是否和之前的皇后有冲突，没有的话返回1
int Check(int a[],int n)
{
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		if(abs(a[i]-a[n])==abs(i-n) || a[i]==a[n])//////////////见下面注释
			return 0;
	}
	return 1;
}

代码注释：

某一行的皇后a[n]不能和之前的皇后a[i]位置有冲突，约束条件为：

a、不在同一列：a[n] != a[i]

b、不在同一行：因为现在是每一行求一个皇后的位置，所以同一行不会有冲突，不需要考虑。

c、不在同一对左角线：a[n]-a[i] != n-i

d、不在同一右对角线：a[n]-a[i] != -(n-i)

条件c和d可以合成：abs(a[n]-a[i]) != abs(n-i)

总结：其实这里用到的就是深度优先搜索的思想，从第一行的皇后一直深入去找第二行、第三行...皇后的位置。其中加上了约束条件Check函数进行“剪枝”。这就是回溯算法的思想：深度优先搜索，遇到不满足的情况就进行回溯。

2、方法一的优化。上述代码易读、易懂，但是用八个for循环不免显得很累赘，而且如果要求在100*100的棋盘上放100个皇后这种“N皇后问题“呢？难道用100个for循环吗？我们来把代码优化一下，用到的思想还是和方法一相同：深度优先搜索、回溯。具体代码如下：

void main()
{
	int a[256]={0};
	int i=1,j,n,t=1;////////////////////////////////////i表示当前正在搜索第i行的皇后位置
	printf("请输入几皇后？n=");
	scanf("%d",&n);
	while(i>0)
	{
		for(a[i]++;a[i]<=n;a[i]++)
		{
			if(Check(a,i))//////////////////////////////如果第i行的皇后与之前的皇后位置上没有冲突，则break跳出循环
				break;
		}
		if(a[i]<=n)/////////////////////////////////////如果a[i]<=n，即上面的for循环是由“break;”跳出来的,即第i行皇后的位置符合条件
		{
			if(i==n)////////////////////////////////////找到一组解，输出
			{
				printf("第%d种解法：
",t++);
				for(j=1;j<=n;j++)
					printf("第%d个皇后：%d
",j,a[j]);
				printf("

");
			}
			else////////////////////////////////////////未找完
			{
				i++;
				a[i]=0;
			}
		}
		else
			i--;////////////////////////////////////////回溯
	}
}

代码注释：上面用到的Check函数和方法一的Check函数相同。

总结：虽然上面代码中只用到两层循环，但是思想、思路和方法一都是一样的，时间复杂度也是和方法一的时间复杂度相同。当n大于10之后运算就已经比较困难了。

3、递归实现。上面两种方法都是用到了深度优先搜索，而一般而言，深度优先搜索都是可以用递归来实现的。下面我们用递归的方式解决八皇后问题。具体代码如下：

int a[20],n,i,j,t=1;////////////////////////////////////////全局变量

void Try(int i)
{
	int j,k;
	for(j=1;j<=n;j++)
	{
		a[i]=j;
		if(Check(a,i))///////////////////////////////////////如果第j列不会与之前的皇后冲突
		{
			if(i<n)//////////////////////////////////////////如果i<n，即还没有找到八个皇后，继续递归
				Try(i+1);
			else ////////////////////////////////////////////如果找到了一组解就输出
			{
				printf("第%d种解法：
",t++);
				for(k=1;k<=n;k++)
					printf("第%d个皇后：%d
",j,a[k]);
				printf("

");
}	}	}	}

void main()
{
	printf("几皇后？n=");
	scanf("%d",&n);
	Try(1);
}

 代码注释：

a、此处递归的思路很简单，每一层递归表示一行皇后，j表示列，即a[i]=j表示第i行的皇后位置在第j列。

b、以上用到的Check函数与方法一的Check函数相同。

我不清楚是什么原因，递归的速度竟然明显比前面的两种方法快？？