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  • 小球下落

       有一棵二叉树,最大深度为D,且所有的叶子深度都相同。所有结点从上到下从左到右编号为1,2,3,…,2eD-1。在结点1处放一个小球,它会往下落。每个结点上都有一个开关,初始全部关闭,当每次有小球落到一个开关上时,它的状态都会改变。当小球到达一个内结点时,如果该结点的开关关闭,则往上走,否则往下走,直到走到叶子结点,如下图所示。
        一些小球从结点1处依次开始下落,最后一个小球将会落到哪里呢?输入叶子深度D和小球个数I,输出第I个小球最后所在的叶子编号。假设I不超过整棵树的叶子数;D<=20。输出最多包含1000组数据。
    样例输入:
    4 2
    3 4
    10 1
    2 2
    8 128
    16 12345
    样例输出:
    12
    7
    512
    3
    255
    36358

    解法一:

     1 #include<iostream>
     2 #include<cstdio>
     3 #include<cstring>
     4 const int maxn=20;
     5 int s[1<<maxn];//最大节点数为sqrt(2,maxn)-1;
     6 
     7 int main(){
     8     int D,I;
     9     while(scanf("%d%d",&D,&I)==2){
    10         memset(s,0,sizeof(s));//将树中的全部节点关闭
    11         int k,n=(1<<D)-1;//n是最大节点编号
    12         for( int i=0; i<I; i++ ){
    13             k=1;
    14             for( ; ; ){
    15                 s[k]=!s[k];//当前节点状态变化
    16                 k=s[k]?k*2:k*2+1;
    17                 if(k>n) break;//出界
    18             }
    19         }
    20         printf("%d
    ",k/2);
    21     }
    22     return 0;
    23 }
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    分析:
    1.对于一个结点k,它的左儿子,右儿子的编号分别是2k和2k+1。
    2.尽管每次小球都是严格下落D-1次,但上述代码中采用“if(k>n) break”的方法判断“出界”更具一般性。
    3.该程序运算量太大:由于I可以高达2(D-1),每个测试数据下落总层数可能会高达219*19(即I*19)=9961472,而一共可能有1000组数据。

    如果使用题目中给的编号I,则当I是奇数时,他是往左走的第(I+1)个小球;当I是偶数时,他是往右走的第I/2个小球。这样,可以直接模拟最后一个小球的路线。

    解法二:

     1 #include <stdio.h>
     2 #include <string.h>
     3 #define MAXN 20
     4 int s[1<<MAXN];                        //将1左移20位,即得最大结点个数为2eMAXN-1
     5 int main(void)
     6 {
     7     int D, I;                        //定义小球的个数,即最后一个小球编号为I
     8     //直接模拟最后一个小球的路线
     9     while(scanf("%d%d", &D, &I) == 2)
    10     {
    11         memset(s, 0, sizeof(s));            //开关(默认0为关闭状态),memset函数包含头文件string.h
    12         int k;                        //n是最大结点编号
    13         for(int i = 0; i < I; i++)  //连续让n个小球下落
    14         {
    15             k = 1;
    16             for(int i = 0; i < D-1; i++)        //连续进行D-1次下落
    17             if(I%2) { k = k*2; I = (I+1)/2; }    //当I为奇数时,它是往左走的第(I+1)/2个小球
    18             else    { k = k*2+1; I /= 2; }        //当I为偶数时,它是往右走的第I/2个小球
    19         }
    20         printf("%d
    ", k);            //输出最后一个小球I的叶子编号
    21     }
    22     return 0;
    23 }
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