[BZOJ4753][Jsoi2016]最佳团体

Description

JSOI信息学代表队一共有N名候选人，这些候选人从1到N编号。方便起见，JYY的编号是0号。每个候选人都由一位

编号比他小的候选人Ri推荐。如果Ri=0则说明这个候选人是JYY自己看上的。为了保证团队的和谐，JYY需要保证，

如果招募了候选人i，那么候选人Ri"也一定需要在团队中。当然了，JYY自己总是在团队里的。每一个候选人都有

一个战斗值Pi"，也有一个招募费用Si"。JYY希望招募K个候选人（JYY自己不算），组成一个性价比最高的团队。

也就是，这K个被JYY选择的候选人的总战斗值与总招募总费用的比值最大。

Input

输入一行包含两个正整数K和N。

接下来N行，其中第i行包含3个整数Si,Pi,Ri表示候选人i的招募费用，战斗值和推荐人编号。

对于100%的数据满足1≤K≤N≤2500,0<"Si,Pi"≤10^4,0≤Ri<i

Output

输出一行一个实数，表示最佳比值。答案保留三位小数。

Sample Input

1 2
1000 1 0
1 1000 1

Sample Output

0.001

 

---

 

看到有分数那么可能是二分答案$mid$。

如果$frac{sum P_i}{sum S_i}> mid$，即$sum P_i-mid imes sum S_i > 0$，那么l就应该增大。

这样我们可以把每个点的权值看成$P_i - S_i imes mid$, 然后做树形背包看最后的最大值是否大于0就行了。

树形背包细节太多了...调了一节课...

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define reg register
inline int read() {
    int res = 0;char ch=getchar();bool fu=0;
    while(!isdigit(ch))fu|=(ch=='-'),ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return fu?-res:res;
}
#define N 2505
int K, n;
int P[N], S[N];

struct edge {
    int nxt, to;
}ed[N];
int head[N], cnt;
inline void add(int x, int y) {
    ed[++cnt] = (edge){head[x], y};
    head[x] = cnt;
}

double f[N][N], val[N];
int siz[N], dfn[N], tot;

void dfs(int x)
{
    siz[x] = 1;
    for (reg int i = head[x] ; i ; i = ed[i].nxt)
    {
        int to = ed[i].to;
        dfs(to);
        siz[x] += siz[to];
    }
    dfn[x] = ++tot;
}

void dp(int x)
{
    siz[x] = 1;
    for (reg int i = head[x] ; i ; i = ed[i].nxt)
    {
        int to = ed[i].to;
        dp(to);
        for (reg int j = siz[x] ; j >= 1 ; j --)
            for (reg int p = 0 ; p <= siz[to] ; p ++)
                f[x][j + p] = max(f[x][j + p], f[to][p] + f[x][j]);
        siz[x] += siz[to];
    }
}

int main()
{
    K = read() + 1, n = read();
    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) S[i] = read(), P[i] = read(), add(read(), i);
    dfs(0);
    double l = 0, r = 1e4, mid(0);
    while(r - l >= 1e-5)
    {
        mid = (l + r) / 2;
        for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) val[i] = 1.0 * P[i] - 1.0 * S[i] * mid;
           for (reg int i = 0 ; i <= n ; i ++)
               for (reg int j = 0 ; j <= K ; j ++)
                   f[i][j] = -1e9;
        for (reg int i = 0 ; i <= n ; i ++) f[i][0] = 0;
        for (reg int i = 0 ; i <= n ; i ++) f[i][1] = val[i];
        dp(0);
        if (f[0][K] >= 1e-5) l = mid;
        else r = mid;
    }
    printf("%.3lf
", l);
    return 0;
}

对于这种有依赖的树形背包，有一种比较常见的优化方法，这种方法只是针对这种选择一个点必须选择其父亲的树上背包问题。

借鉴自一个巨佬的博客。

我们求出这棵树的后序遍历，对于一个点的dfs序是$i$，那么它的子树一定是$[i - siz[x], i]$的一段连续区间，枚举这个点选不选，选的话从$f[i-1]$转移过来，不选的话从$f[i-siz[i]]$转移过来，复杂度$O(NM)$

---

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define reg register
inline int read() {
    int res = 0;char ch=getchar();bool fu=0;
    while(!isdigit(ch))fu|=(ch=='-'),ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return fu?-res:res;
}
#define N 2505
int K, n;
int P[N], S[N];

struct edge {
    int nxt, to;
}ed[N];
int head[N], cnt;
inline void add(int x, int y) {
    ed[++cnt] = (edge){head[x], y};
    head[x] = cnt;
}

double f[N][N], val[N];
int siz[N], dfn[N], tot;

void dfs(int x)
{
    siz[x] = 1;
    for (reg int i = head[x] ; i ; i = ed[i].nxt)
    {
        int to = ed[i].to;
        dfs(to);
        siz[x] += siz[to];
    }
    dfn[x] = ++tot;
}

void dp(int x)
{
    siz[x] = 1;
    for (reg int i = head[x] ; i ; i = ed[i].nxt)
    {
        int to = ed[i].to;
        dp(to);
        siz[x] += siz[to];
    }
    for (reg int j = 1 ; j <= K ; j ++)
        f[dfn[x]][j] = max(f[dfn[x] - siz[x]][j], f[dfn[x] - 1][j - 1] + val[x]);    
}

int main()
{
    K = read() + 1, n = read();
    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) S[i] = read(), P[i] = read(), add(read(), i);
    dfs(0);
    double l = 0, r = 1e7, mid(0);
    while(r - l >= 1e-6)
    {
        mid = (l + r) / 2;
        for (reg int i = 0 ; i <= n ; i ++) 
        {
            f[i][0] = 0;
            for (reg int j = 1 ; j <= K ; j ++)
                f[i][j] = -1e9;
        }    
        for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) val[i] = 1.0 * P[i] - 1.0 * S[i] * mid;
        dp(0);
        if (f[tot][K] >= 1e-6) l = mid;
        else r = mid;
    }
    printf("%.3lf
", l);
    return 0;
}