【题解】洛谷P4281 [AHOI2008] 紧急集合（求三个点LCA）

洛谷P4281：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4281

思路

答案所在的点必定是三个人所在点之间路径上的一点

本蒟蒻一开始的想法是：先求出2个点之间的LCA 再求出此LCA和第3个点的LCA

但是没有考虑到有可能答案所在点可能比2个点之间的LCA深度更深

因为两点之间的LCA是两点共同能到达的深度最浅的一个点

所以我们可以考虑：

设a=LCA(x,y) 此时x和y到a点为最小花费 则此时z到a的花费可以用LCA(a,z)来计算

因此我们分别计算3种情况并取最小值即可

设d为树的深度 a为x和y的LCA b为a与z的LCA 从x到a y到a 分别花费d[x]-d[a]和d[y]-d[a] 从z到a花费d[z]+d[a]-2*d[b]

则ans=max(d[x]+d[y]+d[z]-d[a]-2*d[b])

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxn 500050
#define INF 1e9+7
int n,m,cnt,ans,a,b,k,x,y,z;
int h[maxn],dep[maxn],f[maxn][30];
struct Edge
{
    int next;
    int to;
}e[maxn<<1];
void add(int u,int v)
{
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].next=h[u];
    h[u]=cnt;
}
void deal(int u,int fa)//常规预处理 
{
    dep[u]=dep[fa]+1;
    for(int i=1;i<=21;i++)
    {
        f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
    }
    for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(v==fa) continue;
        f[v][0]=u;
        deal(v,u);
    }
}
int lca(int x,int y)//常规LCA 
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int i=21;i>=0;i--)
    {
        if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
        if(x==y) return x;
    }
    for(int i=21;i>=0;i--)
    {
        if(f[x][i]!=f[y][i])
        {
            x=f[x][i];
            y=f[y][i];
        }
    }
    return f[x][0];
}
void check()
{
    int t=dep[x]+dep[y]+dep[z]-dep[a]-2*dep[b];//计算每种情况的ans 
    if(t<ans)//如果当前值小于原ans 则替换 
    {
        ans=t;
        k=a;//k为最后的位置 
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    deal(1,0);//预处理 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ans=INF;//初始化 
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        a=lca(x,y);//三种情况分别计算 
        b=lca(a,z);
        check();
        a=lca(x,z);
        b=lca(a,y);
        check();
        a=lca(z,y);
        b=lca(a,x);
        check();
        printf("%d %d
",k,ans);
    }
}