扩展欧拉定理
首先，欧拉定理为
[若a与m互质，则有
a^{varphi(m)}equiv1(mod m)
]
我们可以发现费马小定理其实就是欧拉定理的特殊情况。
证明的话，构造一个与(m)互质的数列操作，利用剩余系证明
扩展欧拉定理为
[a^bequiv egin{cases}a^{bmodvarphi(p)},&gcd(a,p)=1\
a^b,&gcd(a,p)
e1,b<varphi(p)\
a^{bmodvarphi(p)+varphi(p)},&gcd(a,p)
e1,bgevarphi(p)
end {cases}pmod p
]
证明请上面传送门
在程序上的体现就是加一个判断：如果(bgevarphi(p))，我们把b的模数加上一个(varphi(p))即可。
于是我们就能做掉P5091
输入幂数时取模即可。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cctype>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
int w=0,x=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
return w?-x:x;
}
namespace star
{
int n,m,b,phim;
inline int fpow(int a,int b){
int ans=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%m)if(b&1)ans=ans*a%m;
return ans;
}
inline void work(){
n=read(),m=read();
phim=m;
int x=m;
for(int i=2;i*i<=x;i++){
if(!(x%i)){
phim=phim-phim/i;
while(!(x%i))x/=i;
}
}
if(x!=1)phim=phim-phim/x;
char c=getchar();
bool ok=0;
while(!isdigit(c))c=getchar();
while(isdigit(c)){
b=b*10+(c^48);c=getchar();
if(b>=phim)ok=1,b%=phim;
}
if(!ok)printf("%lld
",fpow(n,b));
else printf("%lld
",fpow(n,b+phim));
}
}
signed main(){
star::work();
return 0;
}
显然，对于对幂数取模的结果就是再次递归使用欧拉函数。递归求解即可。
先预处理出模数的多次取phi的结果然后递归。注意在快速幂的时候需要判断第二种情况。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cctype>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
int w=0,x=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
return w?-x:x;
}
namespace star
{
const int maxn=1e5+10;
int mod,n,w[maxn],phi[maxn],tot;
inline int fpow(int a,int b,int mod){
int ans=1;
bool ok=0;
for(;b;b>>=1,a=a*a){
if(a>=mod)ok=1,a%=mod;
if(b&1)ans=ans*a;
if(ans>=mod)ok=1;
ans%=mod;
}
return ans+ok*mod;
}
int dfs(int l,int r,int dep){
if(phi[dep]==1||w[l]==1) return 1;
if(l==r)
return w[l]>=phi[dep]?w[l]%phi[dep]+phi[dep]:w[l];
return fpow(w[l],dfs(l+1,r,dep+1),phi[dep]);
}
inline void work(){
n=read(),mod=phi[0]=read();
for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=read();
while(phi[tot]!=1){
int x=phi[tot++];phi[tot]=phi[tot-1];
for(int i=2;i*i<=x;i++){
if(!(x%i)){
phi[tot]=phi[tot]-phi[tot]/i;
while(!(x%i))x/=i;
}
}
if(x>1)phi[tot]=phi[tot]-phi[tot]/x;
}
int q=read();
while(q--){
int l=read(),r=read();
printf("%lld
",dfs(l,r,0)%mod);
}
}
}
signed main(){
star::work();
return 0;
}
区间修改，单点查询，加上一个树状数组就行。每次的模数不一样，所以需要预处理一下欧拉函数。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cctype>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
int w=0,x=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
return w?-x:x;
}
namespace star
{
const int maxn=5e5+10,maxp=2e7+10;
int mod,n,m,phi[maxp],tot,prime[maxp/10],cnt,a[maxn];
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
inline void update(int x,int y){
for(;x<=n;x+=lowbit(x))a[x]+=y;
}
inline int query(int x){
int ans=0;
for(;x;x-=lowbit(x))ans+=a[x];
return ans;
}
bool mark[maxp];
inline void pre(int n){
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!mark[i])prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=cnt and i*prime[j]<=n;j++){
mark[i*prime[j]]=1;
if(!(i%prime[j])){
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
inline int fpow(int a,int b,int mod){
int ans=1;
bool ok=0;
for(;b;b>>=1,a=a*a){
if(a>=mod)ok=1,a%=mod;
if(b&1)ans=ans*a;
if(ans>=mod)ok=1;
ans%=mod;
}
return ans+ok*mod;
}
int dfs(int l,int r,int mod){
int w=query(l);
if(mod==1||w==1) return 1;
if(l==r)
return w>=mod?w%mod+mod:w;
return fpow(w,dfs(l+1,r,phi[mod]),mod);
}
inline void work(){
n=read(),m=read();
int pre=0,zp=0;
for(int i=1;i<=n;i++)zp=read(),update(i,zp-pre),pre=zp;
while(m--){
if(read()==1){
int l=read(),r=read(),k=read();
update(l,k),update(r+1,-k);
}else{
int l=read(),r=read(),p=read();
printf("%lld
",dfs(l,r,p)%p);
}
}
}
}
signed main(){
star::pre(20000000);
star::work();
return 0;
}