P4827 [国家集训队] Crash 的文明世界
题意
求出对于树上每个点 (x) 的 (sum_{u=1}^ndis(x,u)^k)。所有边长为 1。
思路
根据斯特林反演：
[m^n=sum_{j=0}^negin{Bmatrix}n\jend{Bmatrix}C_m^jj!
]
可以得到：
[sum_{i=1}^nsum_{j=0}^{k}egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}C_{dis(x,i)}^jj!\
=sum_{j=0}^{k}egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}j!sum_{i=1}^nC_{dis(x,i)}^j\
=sum_{j=0}^{k}egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}j!sum_{i=1}^n(C_{dis(x,i)-1}^{j-1}+C_{dis(x,i)-1}^j)
]
我们只需要 Dp 一边维护后面的组合数部分的值就行了。最后一步是为了推出转移式，设 (f_{x,j}) 为 (sum_{i=1}^nC_{dis(x,i)}^j)，则有：
[f_{x,j}=sum_{x
ightarrow u}f_{u,j}+f_{u,j-1}
]
再进行一步换根最后代回原式得出答案即可。
实现
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int read(){
int w=0,x=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
while(isdigit(c))x=x*10+(c^48),c=getchar();
return w?-x:x;
}
namespace star
{
const int maxn=5e4+10,mod=10007,maxm=210;
int ecnt,head[maxn],to[maxn<<1],nxt[maxn<<1];
inline void addedge(int a,int b){
to[++ecnt]=b,nxt[ecnt]=head[a],head[a]=ecnt;
to[++ecnt]=a,nxt[ecnt]=head[b],head[b]=ecnt;
}
int n,k,f[maxn][maxm],g[maxn][maxm],S[maxm][maxm],mul[maxm];
void dfs1(int x,int fa){
f[x][0]=1;
for(int u,i=head[x];i;i=nxt[i]) if((u=to[i])!=fa){
dfs1(u,x);
for(int j=1;j<=k;j++) f[x][j]=(f[x][j]+f[u][j]+f[u][j-1])%mod;
f[x][0]=(f[x][0]+f[u][0])%mod;
}
}
void dfs2(int x,int fa){
for(int i=0;i<=k;i++) g[x][i]=f[x][i];
if(fa){
static int res[maxm];
for(int i=1;i<=k;i++) res[i]=(g[fa][i]-f[x][i]-f[x][i-1]+mod*2)%mod;
res[0]=(g[fa][0]-f[x][0]+mod)%mod;
for(int i=1;i<=k;i++) g[x][i]=(g[x][i]+res[i]+res[i-1])%mod;
g[x][0]=(g[x][0]+res[0])%mod;
}
for(int u,i=head[x];i;i=nxt[i]) if((u=to[i])!=fa) dfs2(u,x);
}
inline void work(){
n=read(),k=read();
for(int i=1;i<n;i++) addedge(read(),read());
S[0][0]=S[1][1]=1;
for(int i=2;i<=k;i++) for(int j=1;j<=i;j++) S[i][j]=(S[i-1][j-1]+S[i-1][j]*j)%mod;
mul[0]=1;for(int i=1;i<=k;i++) mul[i]=mul[i-1]*i%mod;
dfs1(1,0),dfs2(1,0);
for(int i=1;i<=n;i++){
int ans=0;
for(int j=0;j<=k;j++) ans=(ans+1ll*S[k][j]*mul[j]*g[i][j])%mod;
printf("%d
",ans);
}
}
}
signed main(){
star::work();
return 0;
}