先说一说最佳匹配吧，最佳匹配本属于最大流。带权的二分图，要么求最小权的完全匹配，要么求最大权的完全匹配，具体化问题：分工问题如下：某公司有工作人员x1,x2,...,xn,他们去做工作y1,y2,...,yn,每人适合做其中的一项或几项工作，每个人做不同的工作的效益不一样，我们需要制定一个分工方案，使公司的总效益最大，这就是所谓最佳分配问题。
这里我们就要用到一个算法叫Kuhn-Munkres算法。
（转）KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B [i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终 成立。KM算法的正确性基于以下定理：
若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：
两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。
以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶 标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改 顶标后，要把所有的slack值都减去d。
也可以看看http://hi.baidu.com/lyc5305562/item/fbd2819a544350d81f4271ab
hdu2448可以作为学习最佳匹配的入门题。
题意：给定n个港口，m个矿点，有n条船，每个港口可以放一条船，因为矿点的人要坐船到最近的港口休息，船只能是从矿点到矿点，或是矿点到港口。
思路：因为是n条船，n个港口，每个港口只放一条船，说明是完全匹配，又要路径最短，说明是最佳匹配，也说明要先求最短路，可以看出港口与港口之间是无向图，而港口与矿点之间是有向图。
#include<iostream> using namespace std; const int N=309; const int inf=1<<28; int map[N][N]; int lx[N],ly[N],fa[N],visx[N],visy[N],sta[N]; int nx,ny,n,m; int Min[N][N]; int pt[N]; void floyd(int n) { for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) Min[i][j]=map[i][j]; } for(int k=1;k<=n;k++) { for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) if(Min[i][j]>Min[i][k]+Min[k][j]) Min[i][j]=Min[i][k]+Min[k][j]; } } void build()//建二分图 { nx=ny=n;//因为船是n，港口是n int i,j; for( i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) { map[i][j]=Min[pt[i]][j];//船所在的矿点，到任意一个港口的距离 map[i][j]*=-1;//把图取反，求最小权 } } int min_(int a,int b) { if(a<b)return a; return b; } bool find(int u)//匈牙利算法 { visx[u]=1; for(int v=1;v<=ny;v++) { if(!visy[v]) { int w=lx[u]+ly[v]-map[u][v]; if(!w) { visy[v]=1; if(fa[v]==-1||find(fa[v])) { fa[v]=u; return true; } }else if(w<sta[v])//用这个数组可以降低复杂度 sta[v]=w; } } return false; } void KM() { int i,j; for(i=1;i<=nx;i++) { lx[i]=-1*inf; for(j=1;j<=ny;j++) { if(map[i][j]>lx[i]) lx[i]=map[i][j];//Ai把顶标初始最大权 } } memset(ly,0,sizeof(ly));//Bi顶标初始0 memset(fa,-1,sizeof(fa)); for(i=1;i<=nx;i++) { for(j=0;j<=n+m;j++) sta[j]=inf; while(1) { int d=inf; memset(visx,0,sizeof(visx)); memset(visy,0,sizeof(visy)); if(find(i)) break; for(j=1;j<=ny;j++) if(!visy[j]) d=min_(sta[j],d); for(j=1;j<=nx;j++) if(visx[j]) lx[j]-=d;//所有访问过的Ai顶标减去最小值 for(j=1;j<=ny;j++) { if(visy[j]) ly[j]+=d;//所有访问过的Bi顶标加上最小值 sta[j]-=d; } } } } int main() { int k,p,i,j,a,b,c; while(scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&p)!=EOF) { for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&pt[i]); pt[i]+=n; } for(i=0;i<=n+m;i++) { for(j=0;j<=n+m;j++) map[i][j]=inf; } for(i=1;i<=k;i++) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); a+=n; b+=n; if(c<map[a][b]) map[a][b]=map[b][a]=c; } for(i=1;i<=p;i++) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); b+=n; if(c<map[b][a]) map[b][a]=c; } floyd(n+m); build(); KM(); int sum=0; for(i=1;i<=nx;i++) { if(fa[i]!=-1) { sum+=-1*map[fa[i]][i];//最后要把最小权取反 } } printf("%d ",sum); } return 0; }