「学习笔记」同余

定义

若整数 (a) 与整数 (b) 除以正整数 (m) 的余数相同，则称 (a,b) 模 (m) 同余，记作 (aequiv bpmod{m})。

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同余类与剩余系

同余类（剩余类）： 对于 (forall a in [0,m-1])，集合 ({ a+km}(k in mathbb{Z})) 中的所有数模 (m) 同余，余数都为 (a)，该集合称为模 (m) 的一个同余类，简记为 (overline a)。

完全剩余系： 模 (m) 的同余类共有 (m) 个，分别为 (overline{0},overline{1},overline{2},overline{3},cdots ,overline{m-1})，从这 (m) 个集合中分别取出 1 个数，构成一个大小为 (m) 的集合，这个集合称为模 (m) 的一个完全剩余系。

简化剩余系： 模 (m) 的完全剩余系中与 (m) 互质的数构成的一个子集。
若一个模 (m) 的同余类 (overline{i}) 中的所有数都与 (m) 互质（事实上只要该同余类中的一个数与 (m) 互质，则该同余类中的所有数都会与 (m) 互质，证明），则称 (overline{i}) 为 与模 (m) 互质的剩余类 。在所有 与模 (m) 互质的剩余类 中分别取出一个数，构成一个大小为 (phi{(m)}) 的集合，这个集合称为模 (m) 的一个简化剩余系。
例如，模 10 的一个简化剩余系为 ({1,3,7,9})，另一个简化剩余系为 ({1,13,27,39})。

简化剩余系关于模 (m) 乘法封闭。
证明：
从一个模 (m) 的简化剩余系中取出两个数 (x,y)，
由于 (gcd(x,m)=1, gcd(y,m)=1)，所以 (gcd(x*y,m)=1)，
所以 (gcd(x*y mod m,m)=1)，
故 (x*y) 模 (m) 的余数也属于 (m) 的简化剩余系。

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欧拉定理

若正整数 (a,n) 互质，则

[a^{varphi(n)} equiv 1pmod{n} ]

证明：
设 ({r_1,r_2,r_3,cdots ,r_{phi(n)}}) 为模 (n) 的一个简化剩余系，求证 ({ar_1,ar_2,ar_3,cdots ,ar_{phi(n)}}) 为模 (n) 的一个简化剩余系。
反证法：
若 (forall r_i,r_j (i eq j), ar_i equiv ar_j pmod{n})，
由于 (a,n) 互质，所以 (r_iequiv r_j pmod{n})，与条件矛盾，
所以 (ar_i,ar_j) 属于模 (m) 的不同剩余系，

因为 (a,n) 互质, 所以 (a) 属于 (n) 的一个简化剩余系,
又因为简化剩余系关于模 (n) 乘法封闭, 所以 (ar_i) 属于 (n) 的一个简化剩余系.
所以 ({ar_1,ar_2,ar_3,cdots ,ar_{phi(n)}}) 为模 (n) 的一个简化剩余系。

所以

[a^{varphi(n)}r_1r_2r_3cdots r_{varphi(n)}equiv (ar_1)(ar_2)(ar_3)cdots (ar_{varphi(n)})equiv r_1r_2r_3cdots r_{phi(n)}pmod{n} ]

由于 (r_1r_2r_3cdots r_{phi(n)}) 与 (n) 互质，
故

[a^{phi(n)}equiv 1pmod{n} ]

得证。

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扩展欧拉定理

若 (a,p) 为正整数，则

[a^bequiv left{ egin{aligned} a^{bmod varphi(p)}, && gcd(a,p)=1 \ a^b, && b<varphi(p) \ a^{bmod varphi(p) + varphi(p)}, && b ge varphi(p) \ end{aligned} ight. ]

证明：（第一种情况）
设 (b=k varphi(p)+r) ，则 (r=bmod varphi(p))。
所以 (a^b equiv a^{kvarphi(p)+r} equiv (a^{varphi(p)})^k*a^r equiv 1^k*a^r equiv a^r equiv a^{bmodvarphi(p)} pmod{p})，得证

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费马小定理

若 (p) 是质数，若正整数 (a) 不是 (p) 的倍数（(a,p) 互质），则

[a^{p-1} equiv 1pmod{p} ]

证明：
由欧拉定理可得：(a^{varphi(p)} equiv 1 pmod{p})；
因为 (p) 为质数，所以 (varphi(p)=p-1)；
所以 (a^{p-1} equiv 1 pmod{p})，得证。

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扩展欧几里得算法

用途

求解二元一次方程 (ax+by=c), ((a,b in mathbb{Z}))

前置知识

贝祖定理 : 对于任意 (a,b in mathbb{Z}), 存在 (x,y in mathbb{Z}), 使得 (ax+by=gcd(a,b)).

剩下的一直鸽着....... (你们谁看到了可以顺便提醒我一下.....)

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乘法逆元

定义

对于整数 (a)，若 (axequiv 1 pmod{m})，则称 (x) 为 (a) 模 (m) 的乘法逆元，记作 (a^{-1}pmod{m})

存在条件

对于整数 (a)，当且仅当 (a,m) 互质时，存在 (a) 模 (m) 的乘法逆元。

证明：
设 (x) 为 (a) 模 (m) 的逆元，则 (axequiv 1 pmod{m})，
该式子可转化为不定方程 (ax+my=1)，
根据贝祖定理可知，当 (gcd(a,m)|1) 时，该方程有解，
所以 (gcd(a,m)=1)，得证。

求逆元

在上文证明逆元的存在条件时提到，同余方程 (axequiv 1 pmod{m}) 可转化为不定方程 (ax+my=1)，我们就可以用扩展欧几里得算法求解 (a) 模 (m) 的逆元。

特殊的，当 (m) 为质数时，(a^{-1}equiv a^{m-2} pmod{m})。
证明：
设 (axequiv 1 pmod{m})，
根据费马小定理

若 (p) 是质数，若整数 (a) 与 (p) 互质，则 (a^{p-1} equiv 1pmod{p})

可得，(axequiv a^{m-1} pmod{m})，
由于 (a,m) 互质，所以，(xequiv a^{m-2} pmod{m})，得证。