付公主的背包

一、题目

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二、解法

直接做背包有点难，不妨试一试生成函数，设 (G(x)) 表示物品 (i) 的生成函数，那么：

[G(x)=1+x^{v}+x^{2v}....=frac{1}{1-x^{v}} ]

直接生成函数卷积没有帮助，所以我们对闭形式搞点事情，不难发现答案是所有闭形式相乘再展开。也就是 (prodfrac{1}{1-x^v})，我们求出 (prod(1-x^v)) 再使用多项式求逆即可，但是这时候暴力乘起不到任何优化效果。

下面的操作就难以置信了。化乘为加是常用技巧，可以用取对数实现，那么我们来看看对 (1-x^V) 取对数会产生什么东西：

[ln(1-x^v) ]

因为 (ln(x')=frac{1}{x})，所以可以尝试求导来去掉 (ln)，设 (F(x)=1-x^v)：

[ln(F(x'))=frac{F'(x)}{F(x)}=frac{-vx^{v-1}}{1-x^v} ]

这个东西其实是母函数的闭形式，我们将其展开：

[=-sum_{igeq0}vx^{v-1+v_i} ]

因为我们是求过导的，现在可以把它还原回去：

[ln(1-x^v)=-sum_{igeq0}frac{vx^{v+v_i}}{v+vi}=-sum_{igeq1}frac{vx^{vi}}{vi} ]

因为这里我们只需要算到 (m)，所以把系数算出来的时间是调和级数求和（但是相同的物品需要一起算）

这里有点不懂，为什么只需要算到 m 呢？其实你可以看成是在模 x^{m+1} 意义下的运算，算出来的系数还是对的

然后多项式 ( t exp) 之后多项式求逆，时间复杂度为 (O(nlog n))

暂时没有代码，马上补！