[学习笔记] purfer序列

purfer序列

这个东西很早以前就听说过了，现在来系统地学习一下吧。

感谢 OI Wiki，每次它都能让我看懂，然后我就把他上面的抄下来了。

( t purfer) 序列可以将一个带标号 (n) 个节点的树用 ([1,n]) 中的 (n-2) 个整数表示，可以理解为完全图的生成树和数列之间的双射，也正是这个特性它可以用于关于树的组合计数问题上。

如果我们要对树建立 ( t purfer) 序列，那么每次选择一个最小的叶节点然后把他删掉，然后在序列中加入他连向的那个节点，重复 (n-2) 次后会剩下两个节点，用堆来维护可以做到 (O(nlog n))

那么怎么用 ( t purfer) 序列构建树呢？首先我们知道最后一定会剩下 (n)，而且每个点的度数是在序列中的出现次数(+1)，所以根据 ( t purfer) 序列可以得到每个点的度数，那么使用类似的方法，我们找到编号最小的度数为 (1) 的节点，把他和当前考虑到的序列上的点连边，然后度数同时减去 (1) 即可，用堆来做同样是 (O(nlog n)) 的。

现在我们就能用 ( t purfer) 序列来造毒瘤数据了，下面来看几道例题。

图连通方案数

题目描述

一个 (n) 个点 (m) 条边的无向图有 (k) 个连通块，问有多少种方案添加 (k-1) 条边能使他变成一棵树。

这个题目的应用：点这里看

解法

已知第 (i) 个连通块的大小为 (s_i)，现在我们套 ( t purfer) 序列，但是直接连上 (k-1) 条边会有点问题，因为每个连通块大小不同，一棵树的方案会和每个连通块连出去的边数有关，那么我们可以设第 (i) 个连通块的度数为 (d_i) 来表示方案。

对应到 ( t purfer) 序列中就是强制第 (i) 个连通块出现了 (d_i-1) 次，这个可以直接组合数：

[{k-2choose d_1-1,d_2-1...d_n-1}=frac{(k-2)!}{(d_1-1)!(d_2-1)!...(d_n-1)!} ]

再乘上连通块内部选点的方案数就是：

[sum_{0<d_i,sum d_i=2k-2}frac{(k-2)!}{(d_1-1)!(d_2-1)!...(d_n-1)!} imesprod_{i=1}^ks_i^{d_i} ]

这个东西看似无法化简，但是如果你知道 广义二项式定理 的话：

[(x_1+x_2...+x_n)^k=sum_{0<y_i,sum y_i=k}frac{k!}{y_1!y_2!...y_n!} imesprod_{i=1}^n x_i^{y_i} ]

那么令 (x_i=s_i,y_i=d_i-1)，我们就可以直接套公式了：

[(s_1+s_2...+s_n)^{k-2} imesprod_{i=1}^k s_i=n^{k-2}prod_{i=1}^ks_i ]