[提高组集训2021] 妹妹卡组

一、题目

妹妹 ( t Oneindark) 给了你 (n) 个卡组，对于每个卡组有 (k_i) 个卡牌，其中第 (j) 个卡牌的大小是 (j)，价值是 (a_{i,j})，每个卡组只能选取一张卡牌。

如果卡牌栏的大小为 (t)，那么能获得的最大价值是多少，你需要对 (tin[n,sum k_i]) 都分别求一次，因为 ( t Oneindark) 会向你撒娇，所以你需要快速把它们都求出来~~

(nleq 10^5,kleq 5)

二、解法

设 (f(i,j)) 为考虑前 (i) 个卡组大小为 (j) 的最大价值，首先有一个根本想不到的结论：把 (j) 这一维模 (12) 意义下分组后，每一组的 (dp) 值关于 (j) 有凸性，设 (D=12)，证明：

首先给出引理：对于若干个和为 (24) 且在 (in{0,1,2,3,4}) 中的元素，可以划分成和为 (12) 的两组。

我们首先把卡牌的大小都减去 (1)（方便套用引理），然后考虑 (f(x-D)) 调整到 (f(x+D)) 的过程，设第 (i) 组卡牌的变化量是 (d_i)，有 (sum d_i=24)，且 (d_iin[-4,4])

那么我们可以把若干个 (d_i) 组合起来，使得和在 (in[0,4]) 中，然后我们把 (d_i) 划分成两组，代价变化多的一组就应用到 (f(x-D)) 到 (f(x)) 这个过程上，所以有：

[f(x)-f(x-D)geq f(x+D)-f(x) ]

知道此结论我们把第一维分治，问题变成了合并两个 (dp) 数组，那么我们花费 (O(D^2)) 枚举两个组，因为每组内部有相同的凸性，所以可以双指针合并（选增量大的那个），时间复杂度 (O(frac{len}{D}))，所以总时间复杂度 (O(Dcdot (nk)log nk))

三、总结

对于可以快速合并的背包，可以用分治的方法优化。

但是这个凸性真的不太明白啊

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define int long long
const int M = 200005;
const int D = 12;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,k[M],sum,dp[5*M],a[M][5];
void div(int l,int r,int *dp)
{
	if(l==r)
	{
		for(int i=0;i<k[l];i++)
			dp[i]=a[l][i];
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1,ll=(mid-l+1)*5,lr=(r-mid)*5;
	int f[ll+5],g[lr+5];
	memset(f,-0x3f,sizeof f);
	memset(g,-0x3f,sizeof g);
	div(l,mid,f);div(mid+1,r,g);
	for(int x=0;x<D;x++) for(int y=0;y<D;y++)
	{
		if(x>=ll || y>=lr) continue;
		dp[x+y]=max(dp[x+y],f[x]+g[y]);
		int i=x,j=y;
		while(i+D<ll || j+D<lr)
		{
			int f1=i+D<ll,f2=j+D<lr;
			if(!f1 || (f2 && g[j+D]-g[j]>f[i+D]-f[i]))
			{
				dp[i+j+D]=max(dp[i+j+D],f[i]+g[j+D]);
				j+=D;
			}
			else
			{
				dp[i+j+D]=max(dp[i+j+D],f[i+D]+g[j]);
				i+=D;
			}
		}
	}
}
signed main()
{
	freopen("fake.in","r",stdin);
	freopen("fake.out","w",stdout);
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		sum+=k[i]=read();
		for(int j=0;j<k[i];j++)
			a[i][j]=read();
	}
	memset(dp,-0x3f,sizeof dp);
	div(1,n,dp);
	for(int i=0;i<=sum-n;i++)
		printf("%lld ",dp[i]);
	puts("");
}