[题解] ARC125B Squares

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题意

给定整数 (n)，求 ((x,y)) 使得：

1. (1leq x,yleq n)。
2. (x^2-y) 是一个平方数。

思路

令 (x^2-y=k^2)，(kleq0)。

得到 (x^2-k^2=(x+k)(x-k)=y)。

令 (p=x+k)，(q=x-k)，则：

1. (x=frac{p+q}{2})，则 (pequiv qmod 2)，(1leq frac{p+q}{2}leq n)
2. (y=pq)，则 (p=frac yq)。
3. (qleq p)，则 (pgeqfrac nq)。

枚举 (q)，得到 (p) 的范围 (frac nqleq pleq q) ，由于 (q) 一定不会超过 (sqrt n)（(qleq p=frac nq)），所以在 (O(sqrt n)) 内解决。

Code

#include <cstdio>
#define int long long
const int MOD = 998244353;
int n, ans;
signed main() {
	scanf("%lld", &n);
	for (int i = 1; i <= n / i; i++)
		ans = (ans + (n / i - i + 2) / 2) % MOD;
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}