事件与概率

一,定义

1.随机试验 —设E为试验,如果满足如下条件
(1)条件不变下可重复
(2)试验结果多样性且所有可能的结果是确定的
(3)试验前不确定具体的结果
2.样本空间—E为试验 ,E的一切可能的基本结果而成的集合,即为Ω
如:Ω={1,2,3,4,5,6}
A={2,4,6}
3.随机事件 —Ω为样本空间,Ω的子集为**~** ,∀A⊂Ω
∅⊂Ω, ∅—不可能事件
Ω⊂Ω,Ω—必然事件

二、事件的运算与关系

(一)运算:
1.和 — A+B: A或B发生的事件

2.积 — A.B同时发生的事件

3.差 ----A-B:A发生且B不发生的事件

4.补----Ā:A不发生的事件

(二)关系
1.包含—A发生且B发生,称A包含于B,记A⊂B

2.互斥(不相容)—A、B不能同时发生,称A、B互斥

A、B⟺AB=∅
3.对立—A、B不能同时发生且至少一个发生

A、B对立⟺B=Ā
⟺AB=∅,A+B=Ω

注解Notes:

①A=(A-B)+AB
且A-B与AB互斥
②A+B = (A-B) + AB + (B-A)
且A-B、AB、B-A两两互斥

概率的定义与性质

**(一)def-Ω为样本空间, ∀A⊂Ω.定义P(A) **
若满足
①∀A⊂Ω有P(A)>=0;(非负性)
②P(Ω)=1;(必然性)
③设A1,A2,…,An,…两两互斥,则P(∑_(n=1)^∞▒A_n )=∑P(An)
称P(A)为A的概率(无限可加性)
(二)性质
1.不可能事件的概率等于0 P(∅) = 0
2.A1,A2,…An两两互斥,则
P(A1+…+An) = P(A1)+…+P(An) (有限可加性)
3.P(Ā) = 1- P(A)
证:∵A,Ā互斥
∴P(A+Ā) = P(A)+P(Ā)
又∵P(A)+P(Ā) = 1
P(Ā) = 1 - P(A)

基本公式

1.减法公式
∵A=(A-B)+AB且A-B与AB互斥
∴P(A) = P(A-B) + P(AB)
⇒P(A-B) = P(A) - P(AB)
A=AΩ = A(B+B ̅ ) = AB+AB ̅
∴AB⊂B,AB ̅ ⊂B ̅
所以AB,AB ̅ 互斥
∴P(A) = P(AB) + P(AB ̅ )
⇒P(AB ̅ ) = P(A) - P(AB)
所以P(A-B) = P(AB ̅ ) = P(A) - P(AB)
2,加法公式
(1)P(A+B)

(2)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+©-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
3.条件概率公式

4.乘法公式

五、事件的独立性

全概率公式与Bayes公式

(一)先备事件组
设A1,A2,An,If

(二) 全 贝
设A1,An为完备组
B = ΩB = (A1+…+An)B = A1B+…AnB


所以P(B) = P(A1B)+…+P(AnB)
1.全:P(B) = P(A1)P(B|A1)+…P(An)P(B|An)