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(mathrm{Meet;in;the;middle})（简称 ( m MITM)），顾名思义就是在中间相遇。
可以理解为就是起点跑搜索树基本一半的状态，终点也跑搜索树基本一半的状态，最后撞到中间，一种类似双向 DFS 的东西。优化还是不错的awa，减少了差不多一半。
时间复杂度可如下分析：
设向外搜索 (n) 层需要的代价为 (k(n))。如果不用 ( extrm{MITM})，那么复杂度显然是 (mathcal O(k(n)))。
以下提供两种做法：
- 方法 (1)：由 ( m MITM) 定义得，从起点搜索到一半的代价为 (kleft(dfrac{n}{2} ight))，从终点搜索到一半的代价也为 (kleft(dfrac{n}{2} ight))，总代价为 (2cdot kleft(dfrac{n}{2} ight))，省略常数，得时间复杂度 (mathcal Oleft(kleft(dfrac{n}{2} ight) ight))。
- 方法 (2)：设搜索树起点与终点为 (A,B) 连接 (B) 与搜索树左右边缘中点，再连接两个左右边缘中点，将搜索树分为四个面积相等区块，( m MITM) 仅搜索其中两个区块，得时间复杂度为 (mathcal Oleft(kleft(dfrac{n}{2} ight) ight))。
这种算法吧，对于 (k(n)=n^2) 时，朴素算法为 (n^2)，( m MITM) 为 (left(dfrac{n}{2} ight)^2=dfrac{n^2}{4})，优化了 (dfrac{1}{4}) 复杂度。线性的优化，在数据大时效果明显。但是如果 (k(n)=2^n)，那么朴素算法为 (2^n)，( m MITM) 为 (2^{frac{n}{2}}=sqrt{2^n})。
显然从一个节点出发进行搜索这题肯定会超时的
对于一个 (9) 位数，一共有 (9) 种可能的 (+1) 操作（每一个数位都可以 (+1)），一共有 (8) 种可能的交换操作，共 (17) 种操作。乘法原理得如果向外搜 (10) 层复杂度是 (17^{10})使用某 Windows 常用计算小工具得 (17^{10}=2015993900449) 假设计算机 (1ms) 运行 (10^4) 次操作还是不能 (1s) 解决，显然 (old{ m TLE})。
告诉起始点来个 ( m MITM) 双向就珂以了，(17^5=1419857)，就算是 (1ms) 跑 (10^2) 的老爷机跑的差不多才 (0.1s)。
这题 ( m BFS) 可能会浪费点时间还是 ( m DFS) 好awa
注意用个 ( m hash)，别 ( m MLE) 了
- 例题2
原题在 ( m codevs) 众所周知 ( m codevs) (dotsdots)
有 (n) 个砝码，现在要称一个质量为 (m) 的物体，请问最少需要挑出几个砝码来称？
注意一个砝码最多只能挑一次。(1le nle 30)，(1le mle 2^{31})，(1le ext{每个砝码的质量}le 2^{30})
看起来像是背包？？（
-
解法 (1)：暴！力！出！奇！迹！一发爆搜切！掉！！
记得优化awa- 用后缀和优化
- 用读优
- 如果当前使用的砝码数 (ge) 当前最优解，( m return)（最优性剪枝）；
- 深搜之前按从大到小排序（改变搜索顺序），( ext{当前总重量}+ ext{当前砝码重量}<m)（最优性剪枝） ，( m return)；
- 如果 ( ext{当前总重量}+ ext{当前砝码重量}>m) ，换下一个砝码（可行性剪枝），注意不要 ( m return)；
然后就可以写出代码了：
-
解法 (2)：用 ( m MITM)，如果后 (dfrac{1}{2}) 发现有 (=m) 的就更新答案，这个稳过，不用优化。
代码：
