1. 题目
T1 写字符串
题目描述
题目描述
你有一个字符串 (S) 和一个字符串 (T)。
你把 (S) 中的字母按顺序一个一个写在黑板上，写完一遍后接着写第二遍、第三遍，以此类推 (cdots)
当黑板上的字符串恰好是 (T) 时，你会停下，否则你会一直写下去。但是你有一次反悔的机会，即可以在某一个时刻在黑板上修改一个字母。
比如 (S= t abc)：
- 若 (T= t abcab)，你会在写下第 (5) 个字母后停笔，因为此时黑板上恰好是 ( t abcab) .
- 若 (T= t aa)，那你可以在写下第二个字母后（黑板上是 ( t ab)）修改第二个字母，变成 ( t a)，这样黑板上恰好是 ( t aa)，可以停笔。
- 若 (T= t aab)，那你永远不会停笔，因为就算修改一个字母，黑板上也永远不可能只出现 ( t aab) 三个字母。
现在有 (q) 组询问，请你按照如下要求输出每个询问的答案：
- 如果不需要修改字母就可以停笔，输出
0； - 如果修改一个字母就可以停笔，输出需要修改的字母下标（从 (1) 开始）；请注意，这里的下标是指 (T) 字符串的下标
- 如果修改一个字母也无法停笔，输出
-1。
输入格式
输入第一行，一个整数 (q)，表示测试数据组数；
对于每组数据，输入一行包含两个字符串 (S) 和 (T)。
输出格式
输出共 (q) 行，第 (i) 行的输出表示第 (i) 组测试数据的结果。
样例输入
3
abc abcab
abc aa
abc aab
样例输出
0
2
-1
数据范围
- 对于 (30\%) 的数据，(1≤|S|,|T|≤10)；
- 对于 (50\%) 的数据，(q=1);
- 对于 (100\%) 的数据，(1≤|S|,|T|≤100)，(1≤q≤10)，字符串由小写字母组成 .
时间限制：(
m 1s)
空间限制：(
m 512MB)
Sol
对于 (S_{0dots n-1})，(T_{0dots m})
检查 (T_i) 是否等于 (S_{imod n})
- 相等：输出
0； - 存在一个 i 使得 (T_i eq S_{imod n})：输出 (i)；
- 超过一位不相等：输出
-1.
时间复杂度 (O(|T|))，足以通过本题。
T2 神奇的数
题目描述
题目描述
小鸿最近学会了因数分解和二进制。她发现有一类数很神奇，这个数可以表示成两个数 (a) 和 (b) 的乘积，并且 (a) 和 (b) 的二进制表示（无前导 (0)）中 (0) 的个数相同，(1) 的个数也相同。
例如：(30) 可以表示成 (5 imes 6)，且 (5) 的二进制表示是 (101)，(6) 的二进制表示是 (110)，都有一个 (0) 和两个 (1)，所以3030是一个神奇的数。(a) 和 (b) 可以相等，即平方数一定是神奇的。
现在小鸿想知道第 (k) 小的神奇的数是多少，请你帮帮她！
输入格式
输入第一行，一个整数 (q)，表示询问个数；
接下来 (q) 行，每行一个整数 (k)，表示一个询问。
输出格式
输出共 (q) 行，每行表示对应询问的答案。
样例数据 (1)
input1
5
1
2
3
4
5
output1
1
4
9
16
25
样例数据 (2)
input2
3
10
100
1000
output2
81
1750
26460
数据规模与约定
- 对于 (20\%) 的数据，(1≤k≤10)；
- 对于 (40\%) 的数据，(1≤k≤10^2)；
- 对于 (60\%) 的数据，(1≤k≤10^3)；
- 对于 (80\%) 的数据，(1≤k≤10^4)；
- 对于 (100\%) 的数据，(1≤k≤10^6)，(1≤q≤10) .
时间限制：(
m 1s)
空间限制：(
m 512MB)
Sol
找出所有的二进制 (0) 和 (1) 个数相等的数乘一下预处理即可。
关于找二进制数中 (1) 的个数，可以线性递推：
令 (cnt_i) 为 (i) 二进制中 (1) 的个数，则
其中 ( ext{shr}) 表示右移，在 C/C++ 中为 >>，在 pascal 中为 shr，参见 Wikipedia - Bitwise operation - Bit shift - Arithmetic shift；( ext{and}) 表示按位与符号，在 C/C++ 中为 &，在 pascal 中为 and，参见 Wikipedia - Bitwise operation - AND .
即 (i) 丢掉最后一位二进制中 (1) 的个数与最后一位是否为 (1)。
经过简单的验证，可以发现 (kle 10^6) 时，(a,ble 2^{13})
枚举 (0) 的个数与 (1) 的个数再乘就可以了。
注意乘的时候要排序和去重，用 sort+unique 即可。
T3 珠子染色
题目描述
题目描述
小鸿把 (n) 个珠子排成一排，想用 (m) 种颜料给它们染色。
这些颜料不一定要都用上，但是她希望染色后的珠子满足：任意连续三个珠子的颜色互不相同。
因为珠子染色后还有可能首尾相连串成项链，所以小鸿还想知道在满足上述条件的方案中，第一个珠子的颜色和最后一个珠子的颜色不同的方案数。
由于答案可能很大，请输出答案对 (p) 取模后的结果。
输入格式
输入仅一行，包含三个整数 (n,m,p) .
输出格式
输出两个数，第一个数是首尾颜色不同的方案数，第二个数是首尾颜色无限制的方案数。
注意输出的是答案对 (p) 取模后的结果。
样例数据 (1)
input
4 4 1000
output
24 48
样例解释
前三个珠子颜色互不相同，一共有 (4×3×2=24) 种选法，第四个珠子的颜色不能和第二、第三颗相同，有 (2) 种选法。这两种选法中，一种和第一颗珠子颜色相同，一种不同，所以第一个答案（首尾颜色不同的方案数）是 (24)，第二个答案（总方案数）是 (48)。
样例数据 (2)
input
20 20 1000000
output
342920 661120
数据规模与约定
请注意 (n,m) 都大于等于 (3) .
- 对于 (20\%) 的数据，(3≤n,m≤5);
- 对于 (40\%) 的数据，(3≤n,m≤50);
- 对于 (60\%) 的数据，(3≤n,m≤10^2);
- 对于 (80\%) 的数据，(3≤n,m≤10^3);
- 对于 (100\%) 的数据，(3≤n,m≤10^4,1≤p≤10^9+7) .
时间限制：(
m 1s)
空间限制：(
m 512MB)
Sol
爆搜：20pts
记录颜色的 dp：
令 (dp_{i,j,k}) 为现在染第 (i) 个珠子，上个颜色是 (j)，当前颜色是 (k)。
枚举下一个珠子的颜色 (p)（([j eq k]land [p eq k])），此时 (dp_{i+1,k,p} = dp_{i+1,k,p}+dp_{i,j,k}) .
状态是 (O(nm^2)) 的，转移是 (O(m)) 的，总复杂度 (O(nm^3))，40pts .
用前缀和优化转移，此时转移为
这转移是 (O(1)) 的，总复杂度 (O(nm^2))，60pts .
这个 (m) 太冗余了，显然如果前两个随便选最后一个就有 (m-2) 种可能，考虑不计颜色。
设第一个珠子颜色是「1」，第二个珠子颜色是「2」，最后答案乘上 (m(m-1)) 即可（因为这两个珠子的方案是 (m(m-1))）
Sol 1：令 (dp_{i,j,k}) 为现在染第 (i) 个珠子，上个颜色状态是 (j)，当前颜色状态是 (k) 的方案数。
颜色状态：
- 「0」：和第一个珠子和第二个珠子颜色都不同。
- 「1」：和第一个珠子颜色相同。
- 「2」：和第二个珠子颜色相同。
考虑转移（乘上方案数）：
([0][0] gets (m-3)[1][0]+[2][0]+(m-4)[0][0])
([1][2] gets [0][1])
([2][1] gets [0][2])
([0][1] gets [2][0]+[0][0])
([0][2] gets [1][0]+[0][0])
([1][0] gets (m-2)[2][1]+(m-3)[0][1])
([2][0] gets (m-2)[1][2]+(m-3)[0][2])
答案是 ( ext{sum}{dp_{n,i,j}})（(0 ≤ i,j ≤ 2) 且 (j ≠ 1)） 和 ( ext{sum}{dp_{n,i,j}})（(0 ≤ i,j ≤ 2)）
时间复杂度 (O(n))，100pts。
Sol 2：令 (dp_{i,j}) 为第 (i) 个位置，颜色状态为 (j) 的方案数。
颜色状态：
- 「0」：第一个颜色和最后一个颜色相同
- 「1」：第一个颜色和倒数第二个颜色相同
- 「2」：第一个颜色和最后两个颜色都不同
与 Sol 1 类似，转移为：
(dp_{i,0} = dp_{i-1,2})
(dp_{i,1} = (m-2)dp_{i-1,0})
(dp_{i,2} = (m-2)dp_{i-1,1}+(m-3)dp_{i-1,2})
答案即为 (dp_{n,1}+dp_{n,2}) 与 (dp_{n,0}+dp_{n,1}+dp_{n,2}) .
时间复杂度 (O(n))，100pts .
T4 病毒扩散
题目描述
题目描述
H 国里有 (n) 个城市，(m) 条双向道路连接着这些城市。
两个城市之间可能有多条道路连接。任意两个城市之间都至少存在一条路径使它们互相可达。
有一天，一种神奇的病毒突然在 (start) 号城市出现了，我们称之为 (0−) 型病毒。这种病毒的扩散方式很神奇，如果在某一天，城市 (u) 中有 (k−) 型病毒，次日，病毒就会从该城市转移到所有与城市 (u) 相邻的城市，并变异成 ((k+1)−) 型病毒。
已知 (0−) 型病毒可能从任意一个奇数编号的城市（即 (start) 是一个在 ([1,n]) 中的奇数）出现。现在你想知道，无论 (0−) 型病毒第一次从哪个城市出现，H 国是否都一定会被病毒吞噬。H 国被病毒吞噬的定义是：存在某一天，所有城市中都有相同类型的病毒。
对于下图，如果 (0−) 型病毒在第一天出现在 (1) 号城市，那么第二天 (2) 号和 (3) 号城市中都会出现 (1−) 型病毒，第三天 (1) 号、(2) 号、(3) 号城市都会出现 (2−) 型病毒（(2) 号城市的 (1−) 型病毒使得 (1) 号和 (3) 号城市出现了 (2−) 型病毒，(3) 号城市的 (1−) 型病毒使得 (1) 号和 (2) 号城市出现了 (2−) 型病毒）。如果 (0−) 型病毒在第一天出现在 (3) 号城市，同理，第三天 (1) 号、(2) 号、(3) 号城市都会出现 (2−) 型病毒。因此 H 国一定会被病毒吞噬。
[1]----[2]
/
/
/
[3]
对于下图，如果 (0−) 型病毒第一天出现在 (1) 号城市，那么第二天 (2) 号城市中出现 (1−) 型病毒，第三天 (1) 号城市中出现 (2−) 型病毒 (cdots) 每天都只有一个城市有病毒，H 国不会被病毒吞噬。
[1]----[2]
现在你获得了 H 国的地图，请你计算一下，H 国是否会被病毒吞噬。如果会，请输出 Yes，否则请输出 No。
输入描述
输入第一行，一个整数 (T)，表示测试数据组数；
对于每组数据，第一行两个整数 (n,m)，接下来 (m) 行，每行两个整数 (u,v) 表示 (u) 号城市和 (v) 号城市有一条道路相连。
输出描述
输出共 (T) 行，第 (i) 行的输出表示第 (i) 组测试数据的结果。
样例输入
2
3 3
1 2
2 3
3 1
2 1
1 2
样例输出
Yes
No
数据范围
- 对于20%的数据，(1≤n≤5)，(1≤m≤10)；
- 对于50%的数据，(1≤n≤50)，(1≤m≤100)；
- 对于70%的数据，(1≤n≤500)，(1≤m≤10^3)；
- 对于90%的数据，(1≤n≤5000)，(1≤m≤10^4)；
- 对于100%的数据，(1≤n≤50000)，(1≤m≤10^5)，(1≤T≤10).
时间限制：(
m 1s)
空间限制：(
m 512MB)
Sol
显然从一个城市能吞噬整个城市，那么从每个城市都能吞噬整个城市。
可以很显然的看出来这就是判图中有没有奇环，染个色即可，100pts。
下面讲 70pts 做法：
如果一个城市 (u) 在第 (t) 天有 (t-1) 型病毒存在，说明存在 (u o start) 的长度为 (t) 的路径（显然）。
如果一个城市在第 (t) 天有 (t-1) 型病毒存在，那么它在第 (t+2) 天一定也有 (t+1) 型病毒（显然 too）。
所以只需要判断 (start) 到每个点是否都可以通过奇数步和偶数步到达，就说明答案是 Yes。
时间复杂度 (O(n(n+m)))，70pts。
算法 -- 图论
存图：
- 邻接矩阵（众所周知）
- 邻接表（vector / struct）
Problem 1：信息传递（NOIp2015；洛谷 P2661；loj 2421）
有 (n) 个同学（编号为 (1) 到 (n)）正在玩一个信息传递的游戏。在游戏里每人都有一个固定的信息传递对象，其中，编号为 (i) 的同学的信息传递对象是编号为 (T_i) 的同学。
游戏开始时，每人都只知道自己的生日。之后每一轮中，所有人会同时将自己当前所知的生日信息告诉各自的信息传递对象（注意：可能有人可以从若干人那里获取信息，但是每人只会把信息告诉一个人，即自己的信息传递对象）。当有人从别人口中得知自己的生日时，游戏结束。请问该游戏一共可以进行几轮？
求最小环，直接遍历每个点即可。
时间复杂度 (O(n))
Problem 2：寻找道路（NOIp2014；洛谷 P2296；loj 2502）
在有向图 (G) 中，每条边的长度均为 (1)，现给定起点和终点，请你在图中找一条从起点到终点的路径，该路径满足以下条件：
- 路径上的所有点的出边所指向的点都直接或间接与终点连通。
- 在满足条件 (1) 的情况下使路径最短。
注意：图 (G)中可能存在重边和自环，题目保证终点没有出边。
请你输出符合条件的路径的长度。
先从终点反向 bfs 得到所有能间接到达终点的点
检查每个点的出边指向的点是否是上面的点
在所有满足条件的点中求最短路即可
时间复杂度 (O(n+m))
拓扑排序：
对于一 DAG，每次删去入度为 (0) 的点，最后形成拓扑序。
只有无环图才有拓扑序。
Problem 3：车站分级（NOIp2013；洛谷 P1983）
一条单向的铁路线上，依次有编号为 (1,2,…,n) 的 (n) 个火车站。每个火车站都有一个级别，最低为 (1) 级。现有若干趟车次在这条线路上行驶，每一趟都满足如下要求：如果这趟车次停靠了火车站 (x)，则始发站、终点站之间所有级别大于等于火车站 (x) 的都必须停靠。（注意：起始站和终点站自然也算作事先已知需要停靠的站点）
例如，下表是 (5) 趟车次的运行情况。其中，前 (4) 趟车次均满足要求，而第 (5) 趟车次由于停靠了 (3) 号火车站（(2) 级）却未停靠途经的 (6) 号火车站（亦为 (2) 级）而不满足要求。
现有 (m) 趟车次的运行情况（全部满足要求），试推算这 (n) 个火车站至少分为几个不同的级别。
不停的站比停的站级别低，若 (a) 比 (b) 级别低，连一条 (a o b) 的有向边，
求出这个有向无环图中的最长路就是答案。
时间复杂度 (O(n^2m))
每辆火车建立一个虚点，边数可以优化到 (O(nm))
01 最短路
给定一个图 (G)，边权只有 (0) 和 (1)，求 (s) 到 (t) 的最短路。
显然边权里只有 (1) 的话可以 bfs。
若边权里还有 (0) 直接 bfs 就不行了，如：
此时那条边权为 (1) 的边会直接更新点 (3) 的最短路，答案就错了。
可以修改一下 bfs，采用如下策略（使用双端队列（deque））：
- 如果走的是边权为 (0) 的边，插入队头更新。
- 如果走的是边权为 (1) 的边，插入队尾更新。
时间复杂度 (O(n+m))
因为队列里要让路径长度最短，因走 (0) 没有改变长度，显然更短，所以放队头，走 (1) 长度变长了，所以放队尾。
分层图
把图复制两遍，放在两个平面上（奇平面和偶平面），然后连上边。
Problem 4：加工零件（CSP2019；洛谷 P5663）
凯凯的工厂正在有条不紊地生产一种神奇的零件，神奇的零件的生产过程自然也很神奇。工厂里有 (n) 位工人，工人们从 (1 sim n) 编号。某些工人之间存在双向的零件传送带。保证每两名工人之间最多只存在一条传送带。
如果 (x) 号工人想生产一个被加工到第 (L (L gt 1)) 阶段的零件，则所有与 (x) 号工人有传送带直接相连的工人，都需要生产一个被加工到第 (L - 1)阶段的零件（但 (x) 号工人自己无需生产第 (L - 1) 阶段的零件）。
如果 (x) 号工人想生产一个被加工到第 (1) 阶段的零件，则所有与 (x) 号工人有传送带直接相连的工人，都需要为 (x) 号工人提供一个原材料。
轩轩是 1 号工人。现在给出 (q) 张工单，第 (i) 张工单表示编号为 (a_i) 的工人想生产一个第 (L_i) 阶段的零件。轩轩想知道对于每张工单，他是否需要给别人提供原材料。他知道聪明的你一定可以帮他计算出来！
求走奇数次的路径和走偶数次的路径即可。
因为走一次必改变奇偶性，所以每个平面之间不会有连边，但是跨越两个平面会有连边。
Problem 5：飞行路线（JLOI2011；洛谷 P4568）
简述：给一个图 (G)，有 (k) 次机会可以将某条边的边权变为 (0)，求 (s) 到 (t) 的最短路径。
建分层图，上下自己建个图，然后从上到下建有向边，边权为 (0) 即可。
Problem 6：冻结（Beijing wc2012；洛谷 P4822）
简述：给一个图 (G)，有 (k) 次机会可以将某条边的边权减半，求 (s) 到 (t) 的最短路径。
同 Problem 5
Problem 7：无向图的最小环问题（洛谷 P6175）
给定一张无向图，求图中一个至少包含 (3) 个点的环，环上的节点不重复，并且环上的边的长度之和最小。该问题称为无向图的最小环问题。在本题中，你需要输出最小的环的边权和。若无解，输出
No solution.。
Floyd 滚动数组前那个第 (2) 维 [k] 是点的最大值，所以说再连一条边即可求出一个环，对每个最短路都求一遍环即可。