qbxt五一数学Day2

目录

• 1. 判断素数（素性测试）
  • 1. $O(sqrt n)$ 试除
  • 2. Miller-Rabin 素性测试
• * 欧拉函数
• 2. 逆元
• 3. exgcd（扩展欧几里得）
• 4. 离散对数（BSGS 算法求解）
• 5. CRT（中国剩余定理）
  • 法一：大数翻倍法（zhx 的神仙解法）
  • 法二：用扩展欧几里得解
• 6. 线性筛（xxs）
  • 1. 筛素数
  • 2. 筛积性函数（$varphi$，$mu$）
• 7. 数论函数与狄利克雷卷积
  • 1. $mu$
    • 1. 定义与性质
    • 2. 例题
  • 2. 狄利克雷卷积
    • 1. 定义
    • 2. 特殊函数的狄利克雷卷积
      • 一
      • 二
      • 三
    • 3. 例题
      • Problem 1
      • Problem 2
  • 3. 莫比乌斯反演
• 8. 计数
  • 1. 计数原理
    • 1. 加法原理
    • 2. 乘法原理
  • 2. 排列组合
    • 定义
    • 性质
    • 几道小题
      • Problem 1
      • Problem 2
      • Problem 3

1. 判断素数（素性测试）

1. (O(sqrt n)) 试除

bool isprime(int n)
{
	if (n<2) return false;
	for (int i=2;i*i<=n;i++)
		if (!(n%i)) return false;
	return true;
}

2. Miller-Rabin 素性测试

Theorm 1

若 (n) 是素数，则对于任意 (1le ale n)，设 (n-1=dcdot 2^r)，则

[a^dequiv 1pmod n;,;{large exists}_{0le ile r}\,a^{dcdot 2^i}equiv -1pmod n ]

中至少有一个成立 .

随便找若干个数 (a) 进行判定，很大概率对（4~8 个在 long long 范围稳了）（取质数效果较好）

时间复杂度 (O(klog^2 n))

const int PrimeList[]={2,3,5,11,37,43,67,73,97}; // for Miller-Rabin
ll qmul(ll a,ll n,ll P)
{
	ll ans=0; if (!n) return 0;
	while (n)
	{
		if (n&1) ans=(ans+a)%P;
    	n>>=1; a=(a+a)%P;
	} return ans%P;
}
ll qpow(ll a,ll n,ll P)
{
	ll ans=1;
	while (n)
	{
		if (n&1) ans=qmul(ans,a,P)%P;
		n>>=1; a=qmul(a,a,P)%P;
	} return ans;
}
bool miller_rabin(ll n,int a)
{
	ll d=n-1,r=0;
	while (!(d&1)){++r; d>>=1;}
	ll x=qpow(a,d,n);
	if (x==1) return true;
	for (int i=0;i<r;i++)
	{
		if (x==n-1) return true;
		x=qmul(x,x,n)%n;
	} return false;
}
bool MillerRabin(ll n)
{
	if (n<2) return false;
	for (int i=0;i<9;i++)
	{
		if (n==PrimeList[i]) return true;
		if (n%PrimeList[i]==0) return false;
		if (!miller_rabin(n,PrimeList[i])) return false;
	} return true;
}

* 欧拉函数

定义：

(varphi(n)) 定义为 (1sim n) 中与 (n) 互质的数的个数，即：

[varphi(n)=sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=1] ]

Theorm *

欧拉函数的求值公式：

[varphi(n)=nleft(1-dfrac 1{p_1} ight)left(1-dfrac 1{p_2} ight)cdotsleft(1-dfrac 1{p_r} ight)mathrm{\,where;} n=prod_{i=1}^r p_i^{alpha_i} ]

Proof：容斥原理

[ ag*{□} ]

公式求 (varphi) 值：

ll phi(ll n) // O(sqrt(n))
{
	ll ans=n;
	for (int i=2;i*i<=n;i++)
		if (!(n%i))
		{
			ans=ans/i*(i-1);
			while (!(n%i)) n/=i;
		}
	if (n>1) ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}

Theorm *（欧拉函数是积性函数）

若 (n,m) 互质，则 (varphi(n)varphi(m)=varphi(nm)) .

Proof：由求值式子显然得证 .

[ ag*{□} ]

2. 逆元

定义：

若 (b) 使得 (abequiv 1pmod m)，则 (b) 成为 (a) 模 (m) 意义下的逆元，记作 (b=a^{-1}) .

Theorm 2
逆元存在的充要条件是 (gcd(a,m)=1) .

我们知道费马小定理和欧拉定理：

Theorm 3（费马小定理）

对于 (gcd(a,p)=1) 且 (p) 为质数，有：

[a^{p-1}equiv 1pmod p ]

Theorm 4（欧拉定理）

对于 (gcd(a,p)=1)，有：

[a^{varphi(p)}equiv 1pmod p ]

其中 (varphi) 是欧拉函数 .

素数求逆元：用费马小定理，答案是 (a^{-1}=a^{p-2}) .

其他：

1. 用欧拉定理，答案是 (a^{-1}=a^{varphi(p)-1}) .
2. 用 exgcd，问题等价于求解 (ax+by=p) .

求 (1sim n) 的逆元：

预处理阶乘，阶乘逆元可以

[(n-1)!^{-1}=n!^{-1}n ]

求，(n) 的逆元可以

[n^{-1}=n!^{-1}(n-1)! ]

求 .

3. exgcd（扩展欧几里得）

求解不定方程

[ax+by=c ]

其中 (x,y) 是整数 .

Theorm 5（裴蜀定理 / 贝祖定理）

[ax+by=c ]

有解当且仅当 (gcd(a,b)mid c) .

所以只需要处理 (ax+by=gcd(a,b)) 的解即可 .

注意到 (gcd(a,b)=gcd(b,amod b))，设 (G=gcd(a,b)) .

我们按照欧几里德算法（即辗转相除法），当 (b=0) 时，容易发现 (x=1,y=0) .

若不然，如果我们知道

[bx_0+(amod b)y_0=G ]

的解，我们就可以依照如下方法求 (ax+by=G) 的解：

[egin{aligned}bx_0+(amod b)y_0&=bx_0+left(a-bleftlfloordfrac ab ight floor ight)y_0\&=ay_0+bleft(x_0-y_0leftlfloordfrac ab ight floor ight)end{aligned} ]

int ex_gcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
	if (!b){x=1; y=0; return a;}
	int xp,yp,g=ex_gcd(b,a%b,xp,yp);
	x=yp; y=xp-yp*(a/b); return g;
	return 0;
}

4. 离散对数（BSGS 算法求解）

BSGS：大步小步算法北上广深·百事公司·阿姆斯特朗算法

求解同余方程

[a^xequiv bpmod p ]

其中 (p) 是质数 .

由费马小定理，这个 (x) 不会超过 (p-1) .

分成如下数表：

如图，将所有行转换到第一行，用一个 set 或 hash 维护即可 .

ll BSGS(ll a,ll b,ll p) // a^x=b (mod p)
{
	int s=sqrt(p),x=1; set<int> se;
	for (int i=0;i<s;i++){se.insert(x); x=1ll*x*a%p;}
	int y=qpow(qpow(a,s,p),p-2,p),z=b;
	for (int i=1;;i++)
	{
		if (se.count(z))
		{
			z=qpow(a,(i-1)*s,p);
			for (int j=(i-1)*s;;j++)
				if (z==b) return j;
				else z=1ll*z*a%p;
		} z=1ll*z*y%p;
	}
} // 要判无解只需要判断循环次数是否过多即可 .

5. CRT（中国剩余定理）

考虑合并两个方程，

[egin{cases}xequiv b_1pmod{p_1}\xequiv b_2pmod{p_2}end{cases} ]

法一：大数翻倍法（zhx 的神仙解法）

枚举 (b_1,b_1+p_1,b_1+2p_1,cdots) 判断是否成立

static pair<ll,ll> MergeEqu(ll a1,ll m1,ll a2,ll m2)
{
	if (m2>m1) swap(m1,m2),swap(a1,a2);
	while (a1%m2!=a2) a1+=m1;
	return make_pair(a1,lcm(m1,m2));
}

法二：用扩展欧几里得解

令 (x=k_1p_1+b_1=k_2p_2+b_2)，则

[k_1p_1-k_2p_2=b_2-b_1 ]

则：

[dfrac{p_1}{gcd(p_1,p_2)}equiv dfrac{b_2-b_1}{gcd(p_1,p_2)}left(mod {dfrac{p_2}{gcd(p_1,p_2)}} ight) ]

用扩欧解出 (k_1) 即可 .

6. 线性筛（xxs）

1. 筛素数

碍事筛埃氏筛：

notprime[1]=true;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
	if (notprime[i]) continue;
	for (int j=i+i;j<=n;j++) notprime[j]=true;
}

这是对于每个素数 (i) 枚举它的所有倍数筛掉

我们反过来，用每个数 (i) 枚举它的所有素数倍：

vector<int> plist; notprime[1]=true;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
	if (!notprime[i]) plist.push_back(i);
	for (auto x:plist)
	{
		int now=i*x;
		if (now>n) break;
		notprime[x]=true;
	}
} // C++11

/* 数组写法  */

notprime[1]=true;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
	if (!notprime[i]) plist[++pcnt]=i;
	for (int j=1;j<=pcnt;j++)
	{
		int now=i*plist[j];
		if (now>n) break;
		notprime[plist[j]]=true;
	}
}

注意到每个数可能被筛多次，例如：

[12=2 imes 6=3 imes 4 ]

翻过来后就是枚举到 (4,6) 时，找到 (2,3) 筛掉 (12) .

我们希望每个数只被它的最小质因子筛掉 .

我们进行模拟：

当我们发现 (4) 时，枚举：

• 素数 (2)：筛掉 (8) .
• 素数 (3)：注意到 (2)（上一个素数）是 (4) 的倍数，所以后面的素数都不用枚举了，因为不是最小素因子（此处最小素因子至多是 (2)）

用这种想法写出最终代码：

vector<int> plist; notprime[1]=true;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
	if (!notprime[i]) plist.push_back(i);
	for (auto x:plist)
	{
		int now=i*x;
		if (now>n) break;
		notprime[x]=true;
		if (!(i%x)) break;
	}
}

2. 筛积性函数（(varphi)，(mu)）

当 (k) 是素数时：

[varphi(k)=k-1;,;mu(k)=-1 ]

当第 (10) 行成立，显然 (mu(now)=0) .

因为没有其他增加的素因子，由欧拉函数计算式得 (varphi(now)=xcdotvarphi(x)) .

如果互素（即第 (11) 行成立），由积性显然有 (varphi(now)=varphi(x)varphi(i))，(mu(now)=mu(x)mu(i))

在板子上改一改就行辣

notprime[1]=true; phi[1]=mu[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
	if (!notprime[i]){plist.push_back(i); phi[i]=i-1; mu[i]=-1;}
	for (auto x:plist)
	{
		int now=i*x;
		if (now>n) break;
		notprime[now]=true;
		if (!(i%x)){phi[now]=phi[i]*x; mu[now]=0; break;}
		else{phi[now]=phi[i]*phi[x]; mu[now]=mu[i]*mu[x];}
	}
}

7. 数论函数与狄利克雷卷积

1. (mu)

1. 定义与性质

(mu)：莫比乌斯函数 ，数论容斥函数 .

定义：

对于整数 (n)，定义：

[mu(n)=egin{cases}1&n=1\(-1)^r&{largeforall}_{iin[1,r]cap mathbb Z}:alpha_i=1\0& m otherwise.end{cases}mathrm{\,where;} n=prod_{i=1}^r p_i^{alpha_i} ]

Theorm：对于 (nperp m)，有 (mu(nm)=mu(n)mu(m))（(mu) 是积性函数 .

Proof：

设

[n=prod_{i=1}^r p_i^{alpha_i};,;m=prod_{i=1}^t q_i^{eta_i} ]

其中 ({large forall}_{iin[1,r]cap mathbb Z\,,\,jin[1,t]cap mathbb Z}:p_i eq q_j)（即 (n,m) 互质）.

当 (alpha_i=eta_j=1) 时（其余情况易证），

[mu(nm)=muleft(prod_{i=1}^r p_i^{alpha_i}cdot prod_{i=1}^t q_i^{eta_i} ight)=(-1)^{r+t}=(-1)^r(-1)^t=mu(n)mu(m) ag*{⬜} ]

2. 例题

问在 (1) 到 (n) 中有多少个数可以表示为

[t=x^y ]

其中 (xge 1,yge 2) .
数据范围：(nle 10^{18})

对于对于一个 (y)，存在 (sqrt[y]n) 个 (x) 满足条件（显然有 (yle log_2 (10^{18}))，即 (yle 64)）.

注意到有数会重复，e.g.

[64=8^2=4^3=2^6 ]

答案即为：

[sum_{i=2}^{64}-mu(i)(sqrt[i]n-1)+1 ]

（这个 (-1) (+1) 是为了去掉 (1=1^?)）
暴力求即可 .

2. 狄利克雷卷积

1. 定义

数论卷积（或狄利克雷（Dirichlet）卷积）：

对于数论函数 (f,g)，定义他们的狄利克雷卷积为：

[(f*g)(n)=sum_{dmid n}f(d)gleft(dfrac nd ight) ]

注：(sumlimits_{dmid n}) 是枚举因子 .

有性质：

• 交换律：(f*g=g*f) .
• 结合律：((f*g)*h=f*(g*h))
• 分配律：((f+g)*h=f*h+g*h)

2. 特殊函数的狄利克雷卷积

一

[mu*I=varepsilon ]

其中 (I(n)=1\,,\,varepsilon(n)=[n=1]) .

即对于 (n>1)，有：

[sum_{dmid n}mu(d)=0 ]

二

[varphi*I=id ]

其中 (id(n)=n) .

即：

[sum_{dmid n}varphi(d)=n ]

三

[mu*id=varphi ]

Proof：

[egin{aligned}mu* id&=mu*varphi*I\&=mu*I*varphi\&=varepsilon*varphi\&=varphiend{aligned} ]

3. 例题

求和变形技巧：

1. 增加枚举变量
2. 交换枚举顺序
3. 删除无用变量

Problem 1

给定 (n,m)，求：

[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mgcd(i,j) ]

[egin{aligned}sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mgcd(i,j)&=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mid(gcd(i,j))\&=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^msum_{dmidgcd(i,j)}varphi(d)& ext{（增加枚举变量）}\&=sum_{d=1}^nsum_{i=1}^{leftlfloorfrac nd ight floor}sum_{i=1}^{leftlfloorfrac md ight floor}varphi(d)& ext{（交换枚举顺序）}\&=sum_{d=1}^nleftlfloordfrac nd ight floorleftlfloordfrac md ight floorvarphi(d)& ext{（删除无用变量）}end{aligned} ]

（第三个等号是把 (gcd) 转换成枚举倍数）.

然后预处理 (varphi)，时间复杂度 (O(n)) .

Problem 2

给定 (n)，问存在多少 (1le i,jle n)，使得 (i,j) 互质 .

显然题目让求的是：

[egin{aligned}sum_{i=1}^nsum_{j=1}^nvarepsilon(gcd(i,j))&=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^msum_{dmidgcd(i,j)}mu(d)& ext{（增加枚举变量）}\&=sum_{d=1}^nsum_{i=1}^{leftlfloorfrac nd ight floor}sum_{i=1}^{leftlfloorfrac md ight floor}mu(d)& ext{（交换枚举顺序）}\&=sum_{d=1}^nleftlfloordfrac nd ight floorleftlfloordfrac md ight floormu(d)& ext{（删除无用变量）}end{aligned} ]

和上一题几乎一样 [表情]

3. 莫比乌斯反演

[g(n)=sum_{dmid n}f(d);Leftrightarrow;f(x)=sum_{dmid n}mu(d)gleft(dfrac nd ight) ]

即

[g=f*I;Leftrightarrow;f=mu*g ]

Proof：

[egin{aligned}g=f*I&Leftrightarrow mu*g=f*I*mu\&Leftrightarrow mu*g=f*varepsilon\&Leftrightarrow mu*g=fend{aligned} ]

[ ag*{⬜} ]

8. 计数

1. 计数原理

1. 加法原理

一件事若干类（并列），方案数加起来

2. 乘法原理

一件事若干步（递进），方案数乘起来

2. 排列组合

定义

组合：(n) 中无序选 (r)：

[C(n,r)=dbinom{n}{r}=dfrac{n!}{r!(n-r)!} ]

排列：(n) 中有序选 (r)：

[P(n,r)=A(n,r)=n^{underline{r}}=dfrac{n!}{(n-r)!} ]

性质

[dbinom{n+m}{n}=dbinom{n+m}{m} ]

组合意义：选不选的

[dbinom{n}{m}=dbinom{n-1}{m-1}+dbinom{n-1}{m} ]

组合意义：第一件选不选

[dbinom{n+r+1}{r}=dbinom{n+r}{r}+dbinom{n+r-1}{r-1}+cdots+dbinom{n}{0}=sum_{i=0}^rdbinom{n-r-i}{r-i} ]

反复用前面那个式子

[dbinom{n}{l}dbinom{l}{r}=dbinom{n}{r}dbinom{n-r}{l-r} ]

组合意义：选两次

[dbinom{n}{0}+dbinom{n}{1}+cdots+dbinom{n}{n}=2^n ]

组合意义：取数用乘法原理、组合数两种算法

[dbinom{n}{0}-dbinom{n}{1}+dbinom{n}{2}-cdots=0 ]

组合意义：建立奇数项与偶数项的一一对应，以达成消去的效果（第一项取反） .

[dbinom{r}{r}+dbinom{r+1}{r}+cdots+dbinom{n}{r}=dbinom{n+1}{r+1} ]

qwq

[(1+x)^n=sum_{k=0}^ndbinom{n}{k}x^{n-k}=sum_{k=0}^ndbinom{n}{k}x^{k} ]

（二项式定理）

组合意义：多项式乘法选数 .

几道小题

Problem 1

(n) 里选 (k) 数，数字可以相同，求方案数.

一个独特的解法：设选 (a_1le a_2le cdotsle a_k) .
构造 (g_1=a_1,g_2=a_2+1,g_3=a_3+2,cdots)，然后对 (g) 作组合，得答案为

[dbinom{n+r-1}{r} ]

Problem 2

(n) 里选 (k) 数，数字不能相邻，求方案数.

类似的设选 (a_1< a_2< cdots< a_k) .
构造 (g_1=a_1,g_2=a_2-1,g_3=a_3-2,cdots)，然后对 (g) 作组合，得答案为

[dbinom{n-r+1}{r} ]

Problem 3

计算

[sum_{k=1}^n dbinom{n}{k}^2 ]

[egin{aligned}sum_{k=1}^n dbinom{n}{k}^2&=dbinom{n}{k}dbinom{n}{n-k}\&=dbinom{2n}{n}end{aligned} ]

第二个等号用组合意义：