5语法与逻辑
5.1一阶谓词逻辑
5.2逻辑语言与逻辑演算
5.3公理系统
围绕公理系统思想与方法上的进展，是理解逻辑、数学、计算机器以至整个科学的历史与现状回避不了的一个脉络。
一个公理系统从一组初始概念与公理出发，这组公理需要满足：
1完备性
2独立性
3相容性
公理系统的完备性是指从这组公理出发，可以推演证明领域所有的命题。我们并不能知道公理系统是否完备，完备性只能证伪，出现不能证明的命题，那就证明完备性上有问题。这时候，可以通过增加或调整公理集，然后再来证明命题，如果可行，那么新的公理系统又处于完备状态，否则只能推倒重来。
公理系统的独立性是指公理集中的各公理相互独立，不能从其中的一些公理推出另一些公理，否则要把可推出的公理作为定理来安排。独立性让公理系统变得经济：在相同的领域范围内，可以更少的公理达到完备性；或者公理不一定少，但能概括的范围更广，达到这样的效果可认为所选择的概念与公理更基础。在没有更少初始或者概括更广范围的情况下，更简洁流畅、或更易理解、甚至更优美也是所追求的。牛顿物理学中，先期以力的概念作为基础概念，后期动量、动能的概念变得更基础，因为后者可以带来更简洁的系统形式，更容易派生出其它需要用到的概念。
公理系统的相容性指从公理出发所能证明的任意二个命题不能矛盾，这是最根本的。
从后世的标准看，欧几里德的《几何原本》在满足上述的要求上是不够严谨的。欧几里德引入了一些未经定义的概念，不自觉应用了图形的直观，欧几里德在《几何原本》里的逻辑推理、证明也都是人脑的直接推算，同时代的逻辑学不足以支撑其中的逻辑应用。历史上，欧几里德《几何原本》第五公设是争论的焦点：
“同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交”
用与第五公设相矛盾的命题替代它，并未产生矛盾的系统，而是带来了非欧几里德几何，比如后来用于广义相对论的黎曼几何。非欧几何的出现否定公理系统公理可以不证自明，那么公理系统的真理性如何保障？
欧几里德的《几何原本》被认为是关于空间关系的理论，“点”、“线”、“面”被认为是实际空间对象的抽象，公理是“点”、“线”、“面”基本关系的描写，后续定义进一步派生空间对象，定理则是各空间对象具体关系的断言。二十世纪德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862.1-1943.2）认为公理应脱离对直观的依赖，让对象、关系成为单纯的符号，并与形式化的谓词逻辑结合，以符号的表达式表示公理，把后继的证明变成纯形式上的转换，也就是所说的“形式化”。按照希尔伯特的想法，所有的数学分支在其朴素公理化的基础上，还应该形成一个形式化的公理系统，这个形式的公理系统也称为朴素公理系统的元语言。数学的真理就归为形式公理系统的相容性，即理论上无矛盾。希尔伯特按形式化要求用自然语言具体重构了欧几里德几何，希尔伯特的几何公理系统分五组，每组一条或多条公理不等。同时代的其它数学家也对其它数学分支的基础进行了形式化、公理化处理，包括意大利数学家皮亚诺（peano,1858.8-1932.4）所建立的算术公理系统，这是完全专用符号的系统。
奥地利裔美国数学家哥德尔（Kurt Gödel,1906.4-1978.1）于1931年提出了不完备定理，证明：任何一个公理系统，只要包括了算术公理的描述，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明为真也不能证伪的命题。哥德尔不完备定理说明希尔伯特所寻求的数学可靠基础是不存在的，这是个影响深远的结论。
一个实际的领域，公理化系统可以从二个方向来看待。一个方向指向逻辑的构建，强调基础的清晰与体系的可靠，这将走向纯粹的形式化:符号成为自足的系统。符号化与形式化不是多数人喜欢的形式，可符号化、形式化仍是一个重要的事实，它说明认知成熟到可以外化为符号系统来完全地呈现，这个符号系统可以从初始的符号与表达式，遵循规则机械、半机械的形式转换推导证明更多的符号表达式，或者至少证明可以纯符号形式地去理解。这改变了内容与形式的关系，在朴素的公理化阶段，符号、表达式被认为直接间接总有着外部的起源，到了形式化的公理系统，事情可以反过来看，一个领域的事实是对符号系统的一个实际解释，同一个形式系统可以有多个领域事实来解释，当然真实的情形中这种情况很偶然的。形式的独立性，也说明可以把符号方式从语言的定义里拆解出来，单独作为一个主题。
另一个方向公理化系统是实际认识的建构。至少公理化的第一个版本，是在大量事实积累，分析归纳、局部总结等基础上形成的。欧几里德《几何原本》是古希腊时期，以及之前各地几何知识的集大成。牛顿《自然哲学的数学原理》是更早开普勒、伽利略、笛卡尔等思想的提升。欧几里德与牛顿的天才之处在于做到了用一组公理把所有的内容统一成一个足够可信的体系。建立初始概念与公理后，演绎的过程经济被简单地描述成机械、半机械的推导，实际的过程是一步步地积累得来的，成书于公元前三世纪的《几何原本》，其第47命题在中国称为勾股定理，在公元前六世纪就由毕达哥拉斯学派证明过，因此又称为毕达哥拉斯定理，其它的很多定理，也是同样的历史。从认知建构来说，多数人能接受的是那种朴素的公理系统。
（作者（LQS）注：连续地阅读会发现，系列的文章不是对各个问题的解释，而是新的理解视角）