题目梗概
给出两个(n*n)的矩阵(A,B),将(A,B)中的向量进行匹配,使得(A)的任意向量被匹配的向量替换后,(A)仍线性无关,求字典序最小解,保证初始时(A)线性无关.
解题思路
因为(A)是(n)维空间中的极大线性无关,所以(A)是(n)维空间的一组基,(B)中的任意向量可以用(A)的组合表示.
然后有一个结论就是如果(B)中的向量(i)能替换(A)中的向量(j),那么用(A)表示(i)的时候(j)的系数不为(0).
感觉比较显然...于是设系数矩阵(C),有(C*A=B),(C=B*A^{-1}).
关于矩阵求逆:在把(A)消成单位矩阵的时候,对一个单位矩阵进行同样的初等变换.
然后(C)的转置显然就是邻接矩阵.
一些细节:字典序最小的求法就是先刷一遍匈牙利然后贪心的修正一遍,因为我们只关心(C)中元素是否为零,所以用任意的一个质数在矩阵求逆的时候进行取模就行.
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=305,tt=1e9+7,maxm=90005;
int n,f[maxn],ans[maxn];
bool vis[maxn];
int qsm(int w,int b){int num=1;while(b){if (b&1) num=(LL)num*w%tt;w=(LL)w*w%tt;b>>=1;}return num;}
int a[maxn][maxn],b[maxn][maxn],c[maxn][maxn];
void mul(int c[][maxn],int a[][maxn],int b[][maxn]){
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++){
c[i][j]=0;for (int k=1;k<=n;k++) (c[i][j]+=(LL)a[i][k]*b[k][j]%tt)%=tt;
}
}
void get_INV(){
for (int i=1;i<=n;i++){
if (!a[i][i]) for (int j=i+1;j<=n;j++) if (a[j][i]) swap(a[i],a[j]),swap(c[i],c[j]);
int w=qsm(a[i][i],tt-2);for (int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=(LL)a[i][j]*w%tt,c[i][j]=(LL)c[i][j]*w%tt;
for (int j=1;j<=n;j++) if (a[j][i]&&i!=j){
w=a[j][i];for (int k=1;k<=n;k++) a[j][k]=(a[j][k]-(LL)a[i][k]*w%tt+tt)%tt,c[j][k]=(c[j][k]-(LL)c[i][k]*w%tt+tt)%tt;
}
}
}
bool find(int x){
for (int i=1;i<=n;i++) if (a[i][x]&&!vis[i]){
vis[i]=1;
if (!f[i]||find(f[i])){
f[i]=x;return 1;
}
}
return 0;
}
bool work(int x,int fa){
for (int i=1;i<=n;i++) if (a[i][x]&&!vis[i]){
vis[i]=1;
if (f[i]==fa||(f[i]>fa&&work(f[i],fa))){
f[i]=x;return 1;
}
}
return 0;
}
int main(){
freopen("exam.in","r",stdin);
freopen("exam.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&b[i][j]);
for (int i=1;i<=n;i++) c[i][i]=1;get_INV();mul(a,b,c);
for (int i=1;i<=n;i++){
memset(vis,0,sizeof(vis));
if (!find(i)){printf("NIE
");return 0;}
}
for (int i=1;i<=n;i++){
memset(vis,0,sizeof(vis));
work(i,i);
}
for (int i=1;i<=n;i++) ans[f[i]]=i;
printf("TAK
");for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d
",ans[i]);
return 0;
}