【bzoj4804】欧拉心算 莫比乌斯反演+莫比乌斯函数性质+线性筛

Description

给出一个数字N

求(sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}varphi(gcd(i,j)))

Input

第一行为一个正整数T，表示数据组数。

接下来T行为询问，每行包含一个正整数N。

T<=5000,N<=10^7

Output

按读入顺序输出答案。

Sample Input

1
10

Sample Output

136

sol

这种题，八成和欧拉函数或者莫比乌斯函数有关......

那就推式子：

(sum_{i=1}^{n}sum_{i=1}^{n}varphi(gcd(i,j)))

(=sum_{d=1}^{n}sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}varphi(d)sum_{e|i,e|j}mu(e))

(=sum_{d=1}^{n}varphi(d)sum_{e=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}mu(e)sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{de} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{n}{de} floor}1)

(=sum_{d=1}^{n}varphi(d)sum_{e=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}mu(e)lfloorfrac{n}{de} floor^2)

(=sum_{T=1}^{n}lfloorfrac{n}{T} floor^2sum_{d|T}varphi(frac{T}{d})mu(d))

前面的那个直接分块即可，后面的冷静分析一下：

“看到(mu)就想到积性函数，就想到质因数分解，就想到消去$>$2的幂的贡献，OIer的思想唯有在这一层能如此跃进 ”

我们把T分解质因数之后，对于每个质数(p_i)的(q_i)次幂单独计算，最后再乘起来。

由于乘数里面有(mu)，所以大于2的幂次产生的贡献可以忽略，对于每个质数，后面这个式子就能够直接推出公式，具体地：

(ifquad qi=0quad f(p_i)=1)

(ifquad q_i=1quad f(p_i)=p_i-2)

(ifquad q_i=2quad f(p_i)=(p_i-1)^2)

(elsequad f(p_i)=pi^{qi-2}(p_i-1)^2)

那么这个就可以线性筛了。

然后就没有了。

Code

#include <cstdio>
#define ll long long
int ls,n,T,vis[10000005],pri[10000005],tot;ll s[10000005]; 
void shai()
{
	s[1]=1;for(int i=2;i<=1e7;i++)
	{
		if(!vis[i]) pri[++tot]=i,s[i]=i-2;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=1e7;j++)
		{
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)
			{
				if(i/pri[j]%pri[j]==0) s[i*pri[j]]=s[i]*pri[j];
				else s[i*pri[j]]=s[i/pri[j]]*(pri[j]-1)*(pri[j]-1);
				break;
			}
			s[i*pri[j]]=s[i]*(pri[j]-2);
		}
	}
	for(int i=1;i<=1e7;i++) s[i]+=s[i-1];
}
ll cal(int n){ll ans=0;for(int i=1;i<=n;i=ls+1) ls=n/(n/i),ans+=(s[ls]-s[i-1])*(n/i)*(n/i);return ans;}
int main(){for(shai(),scanf("%d",&T);T--;printf("%lld
",cal(n))) scanf("%d",&n);}