浅谈对于等比数列相关递推式的化简及相关问题题解

一、简单的与等比数列相关函数的化简

对于递推式f(n)=mf(n-1)+k:

1.显然，存在一个实数c使其化成f(n)+c=m(f(n-1)+c)的形式,展开后我们有：f(n)=mf(n-1)+(m-1)c;
2.显然其中(m-1)c=k,进而可得c=k/(m-1)；
3.那么构造等比数列就很简单了:我们建立一个新的数列A，使A(n)=f(n)+c,那么显然数列A为等比数列，公比为m;

二、相关题目

1.[洛谷P1760]通天之汉诺塔

Description

-在你的帮助下，小A成功收集到了宝贵的数据，他终于来到了传说中连接通天路的通天山。但是这距离通天路仍然有一段距离，但是小A突然发现他没有地图！！！但是幸运的是，他在山脚下发现了一个宝箱。根据经验判断（小A有经验吗？），地图应该就在其中！在宝箱上，有三根柱子以及在一根柱子上的n个圆盘。小A在经过很长时间判断后，觉得这就是hanoi塔！（这都要琢磨）。但是移动是需要时间的，所以小A必须要通过制造延寿药水来完成这项任务。现在，他请你告诉他需要多少步完成，以便他造足够的延寿药水.。时限1s。
-输入格式：一个数n，表示有n个圆盘(n<=1500)
-输出格式：一个数s，表示需要s步。

Solution

1.显然这是一个高精计算的的普通汉诺塔，递推肯定是不能用的，那么我们来看递推式:f(n)=2f(n-1)+1;
2.在递推式两侧同时加上实数a=1，可得f(n)+1=2(f(n-1)+1);
3.建立等比数列A，使A(n)=f(n)+1,因为只有一块圆盘时需要移动的步数为1，数列的公比为2，所以A(1)=2,A(n)=2^(n-1)*2=2n;
4.高精度计算数列A，输出f(n)=A(n)-1;

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[10000005]={0,1,0},len=1,x;     //因为步数可能会很大所以记录步数的数组a开得大一些,注意A(1)=1；
void g(){
	x=0;
	for(int i=1;i<=len;i++)a[i]*=2;   //计算
	for(int i=1;i<=len;i++)
	{
		a[i]+=x;
		x=a[i]/10;                          //进位；
		a[i]%=10;
	}
	if(x>0){
		len++;
		a[len]=x;                       //维护长度；
	}
}

int main(){
	int n,i,j,k;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;++i) g();
	a[1]-=1;                                   //末尾减一，不用担心不够减：wjh大佬的证明：显然2的正整数次幂中末位不会出现奇数，所以不会出现5，且2的正整数次幂的末位>=2;
	for(i=len;i>0;--i)printf("%d",a[i]);
	printf("
");
	return 0;
}

2.[noip1999]Hanoi双塔问题

Description

-给定A、B、C三根足够长的细柱，在A柱上放有2n个中间有孔的圆盘，共有n个不同的尺寸，每个尺寸都有两个相同的圆盘，注意这两个圆盘是不加区分的。
现要将这些圆盘移到C柱上，在移动过程中可放在B柱上暂存。要求：
（1）每次只能移动一个圆盘；
（2）A、B、C三根细柱上的圆盘都要保持上小下大的顺序；
-任务：设Fn为2n个圆盘完成上述任务所需的最少移动次数，对于输入的n(n<=200)，输出Fn。

Solution

1.双塔其实可以看做每个圆盘拆成两片，显然：对于普通汉诺塔递推式f(n)=2f(n-1)+1，双塔步数F(n)=2f(n);
2.那么可以得到F(n)=2F(n)+2:在递推式两侧同时加上实数a=2，可得F(n)+2=2(F(n-1)+2);
3.建立等比数列A，使A(n)=F(n)+2,因为只有一块圆盘时需要移动的步数为2，数列A的公比为2，所以A(n)=2^n+1;
4.高精度计算数列A，输出F(n)=A(n)-2;

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[2000]={0,2,0},len=1,x;          //因为步数n<=200所以记录步数的数组不必开很大,注意A(1)=2；
void g(){
	x=0;
	for(int i=1;i<=len;i++)a[i]*=2;   //计算；
	for(int i=1;i<=len;i++){
		a[i]+=x;
		x=a[i]/10;            
		a[i]%=10;                        //进位；
	}
	if(x>0){
		len++;
		a[len]=x;                         //维护长度；
	}
}

int main(){
	int n,i,j,k;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;++i) g();
	a[1]-=2;                                 //F(n)=A(n)-2，不用担心不够减，证明同上；
	for(i=len;i>0;--i)printf("%d",a[i]);
	printf("
");
	return 0;
}