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  • [数分笔记]Dedekind切割定理的证明

    1、定理内容

    Dedekind切割定理:设是实数集的一个切割,则或者有最大数,或者有最小数。

    2、证明过程

    设是中所有有理数所构成的集合,是中所有有理数所构成的集合

    从而构成一个有理数集的切割

    有三种情况:

    (1)中有最大数,中无最小数

    (2)中无最大数,中有最小数

    (3)中无最大数,中无最小数

    对于情况(1):

    下证也是的最大数,而没有最小数

    反证,假设不是的最大数,设是的最大数

    由有理数的稠密性知,在中必存在有理数

    由知,而,与是的最大数矛盾

    从而是的最大数    //不是的最大数的反面为什么不考虑无最大数

    对于情况(2):

    类似可知没有最大数,的最小数为

    对于情况(3):

    切割确定无理数,,有

    由于,从而要么,要么

    若,下证是的最大数

    反证,若不是的最大数,设的最大数是

    在中存在有理数,由于,故

    又因为,从而,矛盾

    故是的最大数

    类似的,若,则是的最小数

    综上所述,若是实数集的一个切割,则或者有最大数,或者有最小数。  #

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/CQBZOIer-zyy/p/4176899.html
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