[题解]第十一届北航程序设计竞赛预赛——I.神奇宝贝大师

题目描述

一张n*m的地图，每个格子里面有一定数量的神奇宝贝，求一个最优位置，使得所有神奇宝贝到该位置的曼哈顿距离最小。

一共有T组数据，每组数据包含两行，第一行是n和m(1<=n,m<=2000)，第二行是三个整数x,y,q，表示处于（i，j）(1<=i<=n,1<=j<=m)的神奇宝贝的数量为((x^i) + (y^j))mod q，其中1<=x,y<=2000，1<=q<=10。

输出最小的曼哈顿距离和。

解题思路

这道题与2015编程之美挑战赛的基站选址类似（其实可以说是简单版），当时我没有做出来，给个地址吧：http://hihocoder.com/problemset/problem/1150

分析题目可以发现，由于是求曼哈顿距离，所以横行和竖行可以分开考虑，于是问题就变成了求加权平均数的问题。

公式：ans_x = ∑(ai*i) / ∑ai，ans_y = ∑(bj*j) / ∑bj，其中ai表示第i行的神奇宝贝数量，bi表示第i列的神奇宝贝数量，当然有∑ai == ∑bj。

这里有两点需要注意：

1、当结果不是整数时，涉及到向上取整还是向下取整的问题，由于与所有非零点的分布有关，所以最简单的办法是有可能成为答案的四个点都做一次判断就好了。

2、这里涉及到除法，所以可能会出现分母为零的情况，即地图上木有神奇宝贝【o(≧口≦)o摔桌子】，所以要特判…… 我才不会说我因为这个wa了好久QAQ

附：c++代码

（代码中有被注释掉的高精度的部分，因为我之前对数据规模的估计出错了…… 目前的高精度的代码还有错误，所以借鉴需要注意……）

时间复杂度O(n^2)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;
#define MaxN 2020
#define MLen 14

typedef int hp[MLen];
typedef long long llt;

llt H[MaxN], L[MaxN];
int n, m;

inline void Add(hp a, hp b, hp &Ret)
{
    int i, Len = max(a[0], b[0]) + 1;
    hp c;
    for(i = 1; i <= Len; i++)
        c[i] = 0;
    for(i = 1; i <= Len; i++)
    {
        c[i] += a[i] + b[i];
        c[i + 1] += c[i] / 10;
        c[i] %= 10;
    }
    while(Len > 1 && c[Len] == 0)
        Len--;
    c[0] = Len;
    for(i = 0; i <= Len; i++)
        Ret[i] = c[i];
}

inline void Add_Num(hp a, int b, hp &Ret)
{
    int i, Len = a[0] + 1;
    hp c;
    for(i = 1; i <= Len - 1; i++)
        c[i] = a[i];
    c[i] = 0;
    c[1] += b;
    for(i = 1; i <= Len; i++)
    {
        c[i + 1] += c[i] / 10;
        c[i] %= 10;
    }
    while(Len > 1 && c[Len] == 0)
        Len--;
    c[0] = Len;
    for(i = 0; i <= Len; i++)
        Ret[i] = c[i];
}

inline void Mul_Num(hp a, int b, hp &Ret)
{
    int i, Len = a[0] + 5;
    hp c;
    for(i = 1; i <= a[0]; i++)
        c[i] = a[i] * b;
    for(i = a[0] + 1; i <= Len; i++)
        c[i] = 0;
    for(i = 1; i <= Len; i++)
    {
        c[i + 1] += c[i] / 10;
        c[i] %= 10;
    }
    while(Len > 1 && c[Len] == 0)
        Len--;
    c[0] = Len;
    for(i = 0; i <= Len; i++)
        Ret[i] = c[i];
}

inline bool Check(hp a, hp b) // a<b
{
    if(a[0] < b[0])
        return true;
    if(a[0] > b[0])
        return false;
    for(int i = a[0]; i >= 1; i--)
        if(a[i] < b[i])
            return true;
        else if(a[i] > b[i])
            return false;
    return true;
}

inline int Chu(hp a, hp b) // a/b
{
    int Low = 0, High = 2020, Mid;
    hp tmp;
    int op;
    while(Low < High) //[,)
    {
        Mid = Low + (High - Low) / 2;
        Mul_Num(b, Mid, tmp);
        if(Check(tmp, a)) //tmp < a
        {
            Low = Mid + 1;
            op = 0;
        }
        else
        {
            High = Mid;
            op = 1;
        }
    }
    if(!op)
        return Low - 1;
    else
        return High - 1;
}

inline void Cal_Dis(int ph, int pl, llt &Ret)
{
    int i, j;
    //hp Ans;
    llt Ans = 0;
    //Ans[0] = 1; Ans[1] = 0;
    for(i = 1; i < ph; i++)
        //Add_Num(Ans, (ph - i) * H[i], Ans);
        Ans += (llt)(ph - i) * H[i];
    for(i = ph + 1; i <= n; i++)
        //Add_Num(Ans, (i - ph) * H[i], Ans);
        Ans += (llt)(i - ph) * H[i];
    for(j = 1; j < pl; j++)
        //Add_Num(Ans, (pl - j) * L[j], Ans);
        Ans += (llt)(pl - j) * L[j];
    for(j = pl + 1; j <= m; j++)
        //Add_Num(Ans, (j - pl) * L[j], Ans);
        Ans += (llt)(j - pl) * L[j];
    //for(i = 0; i <= Ans[0]; i++)
    //    Ret[i] = Ans[i];
    Ret = Ans;
}

inline void Print(hp a)
{
    for(int i = a[0]; i >= 1; i--)
        printf("%d", a[i]);
    printf("
");
}

int main()
{
    int T;
    int x, y, q;
    int i, j, Num;
    llt Ans, tmp;
    //hp Sum_h, Sum_l, Psum_h, Psum_l;
    llt Sum_h, Sum_l, Psum_h, Psum_l;
    double ph, pl;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &q);
        Psum_h = Psum_l = Sum_h = Sum_l = 0;
        //Psum_h[0]  = Psum_l[0] = Sum_h[0] = Sum_l[0] = 1;
        //Psum_h[1]  = Psum_l[1] = Sum_h[1] = Sum_l[1] = 0;
        for(j = 1; j <= m; j++)
            L[j] = 0;
        for(i = 1; i <= n; i++)
        {
            H[i] = 0;
            for(j = 1; j <= m; j++)
            {
                Num = ((x ^ i) + (y ^ j)) % q;
                H[i] += Num;
                L[j] += Num;
            }
            Sum_h += H[i];
            Psum_h += (llt)i * H[i];
            //Add_Num(Sum_h, H[i], Sum_h);
            //Add_Num(Psum_h, i * H[i], Psum_h);
        }
        for(j = 1; j <= m; j++)
        {
            Sum_l += L[j];
            Psum_l += (llt)j * L[j];
            //Add_Num(Sum_l, L[j], Sum_l);
            //Add_Num(Psum_l, j * L[j], Psum_l);
        }
        //ph = Chu(Psum_h, Sum_h);
        //pl = Chu(Psum_l, Sum_l);
        if(!Sum_h) //Sum_h == Sum_l
        {
            printf("0
");
            continue;
        }
        ph = Psum_h / Sum_h;
        pl = Psum_l / Sum_l;
        Cal_Dis(ph, pl, Ans);
        Cal_Dis(ph + 1, pl, tmp);
        //if(Check(tmp, Ans))
            //for(i = 0; i <= tmp[0]; i++)
            //    Ans[i] = tmp[i];
        if(tmp < Ans)
            Ans = tmp;
        Cal_Dis(ph, pl + 1, tmp);
        //if(Check(tmp, Ans))
            //for(i = 0; i <= tmp[0]; i++)
            //    Ans[i] = tmp[i];
        if(tmp < Ans)
            Ans = tmp;
        Cal_Dis(ph + 1, pl + 1, tmp);
        //if(Check(tmp, Ans))
            //for(i = 0; i <= tmp[0]; i++)
            //    Ans[i] = tmp[i];
        if(tmp < Ans)
            Ans = tmp;
        printf("%lld
", Ans);
        //Print(Ans);
    }
    return 0;
}

另一种思路

这是官方给的题解，没太明白O(n)是怎样实现的。

题目链接：https://biancheng.love/contest-ng/index.html#/29/problems