[题解]hihoCoder挑战赛18——题目1 神奇字符串

题目地址：http://hihocoder.com/problemset/problem/1264

时间限制:20000ms

单点时限:1000ms

内存限制:256MB

描述

我们说两个字符串是非常相似的,当且仅当它们的编辑距离小于等于1.

现在我们有两个字符串A和B, 每个单位时间你可以交换字符串A的相邻的两个字符.

问最少需要多少时间,你可以让A和B变得非常相似?保证存在一种这样的方案.

输入

第一行一个字符串,表示A.

第二行一个字符串,表示B.

所有字符串都仅有英文小写字母组成.

A和B的长度都不超过100.

输出

一行表示最少需要的时间.

样例输入

nwlrb
rclwnb

样例输出

6

 

解题思路

首先要搞清楚什么叫“编辑距离”。编辑距离（Edit Distance）是指两个字串之间，由一个字串变成另一个字串所需要的最少编辑操作次数。编辑操作包括三种：将一个字符替换为另一个字符、插入一个字符、删除一个字符。

由题目要求知道，这样方案一定存在，那么A、B两个字串要么长度相同，要么长度相差1。分类讨论，设n为A串的长度，m为B串的长度，A串最后变成C串，C串与B串的编辑距离<=1。

当n==m时，这时C串长度与A、B串一样，所以与B串要么一样，要么有一个字母不一样；当n==(m+1)时，表示C串要添加一个字符得到B串，同样也是B串删除一个字符得到C串；当(n+1)==m时，表示C串要删除一个字符得到B串，同样B串添加一个字符也可以得到C串。

现在再考虑A串怎么变成C串的。题目给出的对A串的操作只有交换两个相邻的字符，由优化思想可以知道，如果两个相邻的字符是相同的，则没有必要交换，所以说相同的字符之间的相对顺序是不会改变的，于是当C串固定时，A串变为C串的一一对应关系是确定的，也就是说A串中第k个字母a一定变到C串种第k个字母a的位置上。这样问题就转换为求逆序对数量的问题了。

思路比较清楚了，如何实现呢？我们可以枚举与B串编辑距离<=1的C串，第一种情况时间复杂度为O(n)，后两种情况时间复杂度为O(n^2)。（后两种似乎可以用链表的形式优化为O(n)，时间限制不苛刻，这里没有过多考虑）再计算A串到C串的交换次数，即逆序对的数量，时间复杂度为O(n^2)。

附：C++代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
#define MaxN 120
#define INF 1e9

int n, m, Last[MaxN];
char A[MaxN], B[MaxN], C[MaxN];

vector <int> Pos[30];

int Dis()
{
    int i, j, x;
    for(i = 0; i < 26; i++)
        Pos[i].clear();
    for(i = n; i > 0; i--)
        Pos[C[i] - 'a'].push_back(i);
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        x = A[i] - 'a';
        if(Pos[x].size() == 0)
            return INF;
        else
        {
            Last[i] = Pos[x][Pos[x].size() - 1];
            Pos[x].pop_back();
        }
    }
    int Ans = 0;
    for(i = 1; i <= n; i++)
        for(j = i + 1; j <= n; j++)
            if(Last[i] > Last[j])
                Ans++;
    return Ans;
}

int main()
{
    int i, j, Ans = INF;
    scanf("%s", A + 1);
    scanf("%s", B + 1);
    n = strlen(A + 1);
    m = strlen(B + 1);
    if(n == m)
    {
        memcpy(C, B, sizeof(B));
        for(i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(j = 0; j < 26; j++)
            {
                C[i] = 'a' + j;
                Ans = min(Ans, Dis());
            }
            C[i] = B[i];
        }
    }
    else if(n == (m + 1))
    {
        for(i = 0; i <= m; i++)
        {
            for(j = 1; j <= i; j++)
                C[j] = B[j];
            for(j = i + 1; j <= m; j++)
                C[j + 1] = B[j];
            for(j = 0; j < 26; j++)
            {
                C[i + 1] = 'a' + j;
                Ans = min(Ans, Dis());
            }
        }
    }
    else
    {
        for(i = 1; i <= m; i++)
        {
            for(j = 1; j < i; j++)
                C[j] = B[j];
            for(j = i + 1; j <= m; j++)
                C[j - 1] = B[j];
            Ans = min(Ans, Dis());
        }
    }
    printf("%d", Ans);
    return 0;
}