【BZOJ2154】Crash的数字表格 莫比乌斯反演

【BZOJ2154】Crash的数字表格

Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。

Sample Input

4 5

Sample Output

122
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 10^7。

题解：设gcd(i,j)=e

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define mod 20101009
using namespace std;
typedef long long ll;
const int m=10000010;
int num;
ll sm[m];
int pri[m/10],mu[m];
bool np[m];
ll calc(ll x,ll y)
{
	ll i,last,ret=0;
	for(i=1;i<=y;i=last+1)
	{
		last=min(x/(x/i),y/(y/i));
		ret=(ret+(sm[last]-sm[i-1])*(((x/i)*(x/i+1)>>1)%mod)%mod*(((y/i)*(y/i+1)>>1)%mod)+mod)%mod;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	ll i,j,x,y,last,ans=0;
	sm[1]=mu[1]=1;
	scanf("%lld%lld",&x,&y);
	if(x<y)	swap(x,y);
	for(i=2;i<=x;i++)
	{
		if(!np[i])	pri[++num]=i,mu[i]=-1;
		sm[i]=(sm[i-1]+i*i*mu[i])%mod;
		for(j=1;j<=num&&i*pri[j]<=x;j++)
		{
			np[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)
			{
				mu[i*pri[j]]=0;
				break;
			}
			mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(i=1;i<=y;i=last+1)
	{
		last=min(x/(x/i),y/(y/i));
		ans=(ans+((last-i+1)*(last+i)>>1)%mod*calc(x/i,y/i))%mod;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}