【BZOJ4031】[HEOI2015]小Z的房间 矩阵树定理

【BZOJ4031】[HEOI2015]小Z的房间

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

 一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
...
...
.*.

Sample Output

15

HINT

对于前100%的数据，n,m<=9

题解：矩阵树定理：一个图的生成树个数=|该图的度数矩阵-邻接矩阵|的行列式的任意n-1阶子式的值。（度数矩阵：Aii=i的度数，其它=0）

如何求行列式的值？行列式有三种行变换：1.某行乘上一个数k，行列式的值*=k。2.某两行交换，行列式的值取相反数。3.某一行*=k，然后加到另一行上去，行列式的值不变。利用这三个变换，我们对行列式进行高斯消元即可。

但是本题要取模，并且模数不是质数，所以采用辗转相除法即可（本人的辗转相除法有点丑~）。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000000;
int n,m,tot;
char str[20];
int map[20][20];
ll v[100][100],ans;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int i,j,k;
	ll t;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",str);
		for(j=1;j<=m;j++)	if(str[j-1]=='.')	map[i][j]=++tot;
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=m;j++)
		{
			if(!map[i][j])	continue;
			if(map[i][j-1])	v[map[i][j-1]][map[i][j-1]]++,v[map[i][j]][map[i][j]]++,
				v[map[i][j-1]][map[i][j]]--,v[map[i][j]][map[i][j-1]]--;
			if(map[i-1][j])	v[map[i-1][j]][map[i-1][j]]++,v[map[i][j]][map[i][j]]++,
				v[map[i-1][j]][map[i][j]]--,v[map[i][j]][map[i-1][j]]--;
		}
	}
	for(i=1;i<=tot;i++)	for(j=1;j<=tot;j++)	v[i][j]=(v[i][j]+mod)%mod;
	tot--,ans=1;
	for(i=1;i<=tot;i++)
	{
		for(j=i+1;j<=tot;j++)
		{
			while(v[i][i]&&v[j][i])
			{
				if(v[i][i]>=v[j][i])	for(t=v[i][i]/v[j][i],k=i;k<=tot;k++)	v[i][k]=(v[i][k]-v[j][k]*t%mod+mod)%mod;
				else	for(t=v[j][i]/v[i][i],k=i;k<=tot;k++)	v[j][k]=(v[j][k]-v[i][k]*t%mod+mod)%mod;
			}
			if(v[j][i])	for(ans=mod-ans,k=i;k<=tot;k++)	swap(v[i][k],v[j][k]);
		}
		ans=ans*v[i][i]%mod;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}